Uppgift 11
$$f(x) = 3x^3 + ax^2 + 2$$
för \(a \geq 0\). Bevisa att \(f\) är inverterbar på hela \(\Bbb R\) om (om och bara om) \(a=0\), och bestäm \(f^{-1}\) för \(a=0\).
Om vi låter \(a=0\) har vi \(f(x) = 3x^3 + 2\). Låt nu \(y = 3x^3 + 2\) och bryt ut x:
$$y = 3x^3 + 2 \Leftrightarrow y-2 = 3x^3 \Leftrightarrow \frac{y-2}{3} = x^3 \Leftrightarrow \left( \frac{y-2}{3} \right)^{1/3} = x$$
Därmed har vi inversen \(f^{-1}(y) = \left( \frac{y-2}{3} \right)^{1/3}\).
För ekvivalensen kan vi använda vetskapen att \(f\) inverterbar är ekvivalent med att \(f\) är injektiv. Injektivitet betyder att
$$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$$
Detta kan vi använda. Vi vet ju att \(f(0) = 3 \cdot 0^3 + a \cdot 0^2 + 2 = 2\). Finns det något annat \(x\) så att \(f(x) = 2\), men att \(x \neq 0\)? I så fall vet vi att \(f\) ej är injektiv och därmed ej inverterbar.
$$2 = f(x) = 3x^3 + ax^2 + 2 \Leftrightarrow 3x^3 + ax^2 = 0$$
$$3x^3 + ax^2 = 0 \Leftrightarrow x^2(3x+a) = 0$$
Enligt nollproduktsmetoden vet vi alltså att \(x^2 = 0\) eller \(3x+a = 0\), eller ekvivalent \(x=0\) eller \(x = \frac{-a}{3}\). Men eftersom \(a \geq 0\) kan vi ha något \(x > 0\) så att \(f(x) = 2\), och därmed är \(f\) inte injektiv och därmed ej inverterbar (om inte \(a=0\)).
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.