Uppgift 13
Beräkna volymen av rotationskroppen som genereras av området mellan kurvan
$$y=4x^3+2x^2-x+\frac{1}{3}\,\,\,\,\,\, (1 \leq x \leq 4)$$
och x-axeln, vid rotation kring y-axeln.
Först kontrollerar vi att grafen inte skär x-axeln. Eftersom
$$y(1) = 4 + 2 - 1 + \frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3} > 0$$
och
$$y'(x) = 12x^2 + 4x - 1 > 0$$
för \(x \geq 1\) vet vi att den inte gör det. Därmed kan vi gå vidar eoch beräkna volymen med skalmetoden:
$$V = 2 \pi \int_1^4 xy dx = 2 \pi \int_1^4 \left( 4x^4 + 2x^3 - x^2 + \frac{x}{3} \right) dx$$
$$= 2 \pi \left( \frac{4x^5}{5} + \frac{2x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{6} \right)_1^4 $$
$$= 2 \pi \left( \frac{4 \cdot 1024}{5} + \frac{2 \cdot 256}{4} - \frac{64}{3} + \frac{16}{6} - \left( \frac{4}{5} + \frac{2}{4} - \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \right) \right)$$
$$= 2 \pi \left( \frac{4092}{5} + \frac{510}{4} - \frac{63}{3} + \frac{15}{6} \right) $$
$$= 2 \pi \cdot \frac{4637}{5} $$
$$ = \frac{9274 \pi}{5}$$
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.