Uppgift 15
Bestäm Taylorpolynomet av grad 3 till funktionen
$$f(x) = \ln(1+\sin(x)) - x + 2$$
kring \(x=0\).
Avgör, med hjälp av Taylorpolynomet, om \(f\) har en lokal maximipunkt i \(x=0\).
Enligt definition är Taylorpolynomet av grad tre:
$$P_3(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3$$
Med \(a=0\) blir det:
$$P_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \frac{f'''(0)}{6}x^3$$
Vi deriverar tre gånger:
$$f'(x) = \frac{\cos(x)}{1 + \sin(x)} - 1$$
$$f''(x) = \frac{(-\sin(x))(1 + \sin(x)) - \cos(x)\cos(x)}{(1+\sin(x))^2} =$$ $$\dots = \frac{-1}{1 + \sin(x)}$$
$$f'''(x) = \frac{\cos(x)}{(1 + \sin(x))^2}$$
Här har vi använt kvotregeln för derivator samt trigonometriska ettan för att förenkla. Ur dessa uttryck får vi \(f(0) = 2, f'(0) = 0, f''(0) = -1, f'''(0) = 1\). Genom insättning får vi:
$$P_3(x) = 2 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$$
Eftersom Taylorpolynomet är en approximation av funktionen nära en punkt, i detta fall \(x=0\), kan vi säga att väldigt nära noll gäller:
$$f(x) \approx 2 - \frac{x^2}{2} + \mathcal{O}(x^3)$$
Eftersom funktionen \(2 - \frac{x^2}{2}\) är en andragradsfunktion med en lokal maxpunkt i \(x=0\) kan vi sluta oss till att även \(f(x)\) har det.
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.