Uppgift 16
För funktionen:
$$f(x) = \frac{e^x}{x^2}$$
- Hitta alla eventuella asymptoter till \(f\).
- Skissa grafen \(y = f(x)\).
- Hitta alla lokala och globala extrempunkter till \(f\).
- Ange, för varje reellt tal \(a\), antalet reella lösningar till ekvationen \(e^x = ax^2\).
Exponentialfunktionen \(e^x\) växer fortare än ett polynom, så för extrema x-värden är det den funktionen som dominerar. Det gör att vi kan bestämma gränsvärden
$$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$$
$$\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$$
Så till vänster har vi en horisontell asymptot \(y=0\), men till höger ingen asymptot eftersom \(e^x\) växer snabbare än något polynom, speciellt räta linjer.
På grund av \(x^2\) i nämnaren så existerar inte värdet på \(f(0)\). Vi kan dock beräkna gränsvärdet mot noll och får:
$$\lim_{x \to 0-} f(x) = \lim_{x \to 0+} f(x) = \infty$$
Detta eftersom både nämnare och täljare alltid är ickenegativa. Så vi har också en vertikal asymptot \(x=0\).
Vi deriverar (med kvotregeln):
$$f'(x) = \frac{e^xx^2 - e^x2x}{(x^2)^2} = \frac{xe^x(x-2)}{x^4} = \frac{e^x(x-2)}{x^3}$$
Uttrycket är lika med noll om och endast om \(x=2\). Genom att göra en teckenstudie (eller genom att kontrollera andraderivatans tecken i \(x=2\) får vi fram att \(x=2\) är en minimipunkt. Den har där värdet \(f(2) = \frac{e^2}{4}\).
Ekvationen \(e^x = ax^2\) kan skrivas om som \(a = \frac{e^x}{x^2} = f(x)\). Eftersom \(a\) är någon reell konstant är det lätt att hitta skärningspunkter mellan den horisontella linjen \(y=a\) och grafen till \(y=f(x)\).
Funktionen är aldrig icke-positiv, så för \(a \leq 0\) finns inga lösningar. Genom minimipunkten finns det två lösningar, och i de andra intervallen \((0, \frac{e^2}{4})\) och \((a, \infty)\) finns det en respektive tre lösningar till ekvationen, vilket är tydligt från grafen som ritas upp i videon.
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.