Uppgift 18
Låt \(f\) vara en deriverbar funktion. För den gäller att \(f'(x) < \frac{1}{2}\) för alla \(x\).
Om \(f(0) > 0\), visa att ekvationen \(f(x)=x\) har exakt en lösning i intervallet \((0,\infty)\).
Vi börjar med att försöka hitta ett uttryck för \(f(x)\) genom att integrera vad vi vet om \(f'(x) \):
$$f'(x) < \frac{1}{2} \Rightarrow \int_0^x f'(u)du < \int_0^x \frac{du}{2}$$
$$\Rightarrow f(x) - f(0) < \frac{x}{2}$$
$$\Rightarrow f(x) < f(0) + \frac{x}{2}$$
Vi kan skriva ekvationen \(f(x) = x\) på formen \(f(x) - x = 0\), och använda olikheten för \(f(x)\) ovan för att få:
$$f(x) - x < f(0) + \frac{x}{2} - x = f(0) - \frac{x}{2}$$
Funktionen \(f(0) - \frac{x}{2}\) är kontinuerlig eftersom båda termerna är det (\(f\) deriverbar \(\Rightarrow\) \(f\) kontinuerlig) och monotont avtagande eftersom det är en rät linje.
Eftersom en rät linje skär x-axeln i exakt en punkt har alltså \(f(x)-x=0\) exakt en lösning, vilket vi skulle bevisa.
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.