Uppgift 2

Den första differentialekvationen är separabel:

$$y^2 \frac{dy}{dx} = \arctan(x) \Leftrightarrow y^2 dy = \arctan(x) dx$$

Vi integrerar båda led med hjälp av partiell integration:

$$\frac{y^3}{3} = \int \arctan(x) dx = x \arctan(x) - \int \frac{x}{1+x^2}dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2}\ln |1 + x^2| + C$$

Ur detta får vi:

$$y^3 = 3x \arctan(x) - \frac{3}{2} \ln |1+x^2| + 3C$$
$$y = (3x \arctan(x) - \frac{3}{2} \ln |1+x^2| + 3C)^{1/3}$$

Den andra differentialekvationen är inte separabel, men vi kan skriva den på formen \(y' + g(x)y = f(x)\) och lösa med integrerande faktor. Dividerar vi båda led i ekvationen med \(x^2\) får vi

$$y' + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x^2}$$

som alltså är på rätt form. Den integrerande faktorn \(\mu(x)\) är

$$\mu(x) = e^{\int \frac{dx}{x}} = e^{\ln(x)} = x$$

och multiplicerar vi hela differentialekvationen med detta blir den:

$$xy' + y = \frac{1}{x}$$

Poängen är att \(\frac{d}{dx}(\mu(x)y) = \mu(x)f(x)\), och genom att integrera med avseende på \(x\) får vi:

$$xy = \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C$$

$$\Leftrightarrow y = \frac{\ln |x| + C}{x}$$

Konstanten \(C\) ges av villkoret \(y(1) = 0$:

$$0 = y(1) = \frac{\ln |1| + C}{1} = C$$

Så med \(C=0\) har vi lösningen:

$$y = \frac{\ln |x|}{x}$$