Uppgift 9

Vi kan börja med att förenkla uttrycket vi summerar:

$$\frac{n^3\sin(1/n)}{n^4+n+1} \leq \frac{n^3\sin(1/n)}{n^4+n} = \frac{n^2\sin(1/n)}{n^3+1} \leq \frac{n^2\sin(1/n)}{n^3}$$

Sedan använder vi ett litet trick med variabelsubstitutionen \(t = 1/n\),

$$n \sin(1/n) = \frac{\sin(1/n)}{1/n} = \frac{\sin(t)}{t} = 1$$

då \(t \to 0 \Leftrightarrow n \to \infty\). Med andra ord, för \(n \to \infty\) kan vi säga att \(n \sin(1/n) \to 1\).

Detta ger oss att det måste finnas ett \(N\) så att, för alla \(n>N\) har vi \(n \sin(1/n) < 2\). Just konstanten \(2\) spelar ingen roll, men vi vet ändå detta. Då kan vi återigen förenkla uttrycket vi summerar:

$$\frac{n^2\sin(1/n)}{n^3} \leq \frac{n \cdot 2}{n^3} = \frac{2}{n^2}$$

Notera att

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^2}$$

konvergerar (det är en p-serie med \(p=2>1\)) och enligt jämförelsekriteriet ser vi att den ursprungliga summan, som är mindre, också konvergerar.