Uppgift 13

Koefficientmatrisen för systemet är:

$$A = \begin{pmatrix} a+1 & 2 & 1 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Addera rad 3 till rad 2:

$$A = \begin{pmatrix} a+1 & 2 & 1 \\ 0 & a+4 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Subtrahera rad 3 från rad 1:

$$A = \begin{pmatrix} a & -2 & 0 \\ 0 & a+4 & 0 \\ 1 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$

Addera rad 1 till rad 3, två gånger:

$$A = \begin{pmatrix} a & -2 & 0 \\ 0 & a+4 & 0 \\ 1+2a & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Nu har vi en matris med många nollor, och motsvarande ekvationssystem ser ut såhär:

$$\left\{\begin{matrix} ax & - &2y & = & 0\\ & & (a+4)y & = & 0\\ (1+2a)x& + & z & = & 0 \end{matrix}\right.$$

Nu finns det några \(a\)-värden som är intressanta. Om \(a=0\) får vi ur den första ekvationen \(0 - 2y = 0 \Rightarrow y=0\), och i den tredje ekvationen \(x+z = 0 \Rightarrow x=-z\). Dessa lösningar kan vi skriva som:

$$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

där \(t\) är någon godtycklig skalär.

På samma sätt, om \(a=-4\), så blir den andra ekvationen \(0 \cdot y = 0\) som alltså inte ger någon information. Den första ekvationen ger \(-4x -2y = 0 \Rightarrow 2x = -y\), och den tredje ekvationen ger \(z = 7x\). Detta kan sammanfattas som:

$$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = t\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}$$

För alla andra värden på \(a\) får vi från ekvation 2 att \(y = 0\), vilket i första ekvationen ger \(x=0\) och i tredje \(z=0\). Så för \(a \neq 0,-4\) har vi:

$$\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Detta kan bekräftas genom att beräkna \(\det(A)\) = 0, och se att determinanten är nollskild för alla \(a\neq0,-4\) och därmed finns en unik lösning till det homogena systemet, som måste vara \((0,0,0)^T\).