Uppgift 18

För att diagonalisera \(A\) behöver vi hitta egenvärden till \(A\), genom att bestämma lösningar till \(\det(A - \lambda I) = 0\):

$$\left| \begin{matrix} 1-\lambda & 2 & 2 \\ 1 & 1-\lambda & 3 \\ 1 & -1 & 5-\lambda \end{matrix} \right|$$

$$ = (1-\lambda)((1-\lambda)(5-\lambda)+3) - 2((5-\lambda)-3) $$ $$+ 2 (-1 - (1-\lambda))$$

$$ = \lambda(\lambda^2 - 7\lambda + 10) = 0$$

Som har lösningarna \(\lambda_1 = 0\), \(\lambda_2 = 5\) och \(\lambda_3 = 2\). Eftersom alla egenvärden är unika (har multiplicitet ett) så är \(A\) diagonaliserbar.

$$D = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

För att hitta den diagonaliserande matrisen \(S\) behöver vi hitta egenvektorerna som motsvarar respektive egenvärde. Det gör vi genom att lösa:

$$(A - \lambda_i I)x_i = 0$$

där \(x_i\) är egenvektorn till egenvärdet \(\lambda_i\). Insättning av \(\lambda_1=0\) ger till exempel:

$$(A - 0I)x = Ax = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 1 & 1 &3 \\ 1 & -1 &5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Med lösningen \(x_1 = t(-4,1,1)^T\), som fås med hjälp av t.ex. Gauss-Jordan-eliminiation av detta ekvationssystem. På samma sätt ges följande egenvektorer:

$$\lambda = \lambda_2=5: x_2 = t(1,1,1)^T$$

$$\lambda = \lambda_3=2: x_3 = t(-8,-5,1)$$

Se videon för en utförlig uträkning av varje egenvektor.

Egenvektorerna bildar nu kolonnerna i matrisen \(S\):

$$S = \begin{pmatrix} -4 & 1 & -8 \\ 1 & 1 & -5 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Därmed har vi bestämt matrisen \(S\) som diagonaliserar \(A\) till \(D\). Bästa sättet för att kontrollera att du räknat rätt är att hitta inversen \(S^{-1}\), beräkna produkten \(S^{-1}AS\) och se att du faktiskt får \(D\).