Uppgift 4
Figuren till höger visar hur en linjär bildning \(F\) i planet avbildar två vektorer \(u\) och \(v\) på vektorerna \(F(u)\) respektive \(F(v)\). Bestäm avbildningsmatrisen för \(F\) i \(xy\)-planet.
Ursprungsvektorerna bildar kolumnerna i matrisen
$$U = \begin{pmatrix} 4 & 2\\ 3 & -1 \end{pmatrix}$$
och de avbildade vektorerna bildar kolumnterna i matrisen
$$U_F = \begin{pmatrix} -4 & -2\\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$
För en avbildningsmatris \(A_F\) gäller då:
$$A_FU = U_F$$
Genom att multiplicera med inversen av \(U\) från höger erhåller vi ekvationen:
$$A_F = U_FU^{-1}$$
Eftersom \(U_F\) är känd måste vi först bara beräkna inversen av \(U\), eftersom det är en \(2 \times 2\)-matris kan vi göra det direkt utan Jacobis metod:
$$U^{-1} = \frac{1}{\det(U)} \begin{pmatrix} -1 & -2\\ -3 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & -4 \end{pmatrix}$$
Observera att vi bytte tecken på alla element i matrisen eftersom \(\det(U) = -10\).
Och slutligen beräknar vi produkten
$$A_F = U_FU^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -4 & -2\\ 1 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & -4 \end{pmatrix}$$ $$= \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -10 & 0\\ 10 & -10 \end{pmatrix}$$
vilket förenklas till:
$$A_F = \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$
Har du kommit så här långt i mattestudierna passar du kanske utmärkt som volontär i Mattecentrums räknestugor. Läs mer här om hur du blir volontär.