Ekvationslösning

I det här avsnittet bygger vi vidare på vad vi tidigare lärt oss om formler och ekvationer, och går igenom ett antal exempel på hur man löser ekvationer. Allt i följande avsnitt är en repetition, men det är väl värt att gå igenom då det är viktigt att man kan lösa ekvationer. Vi studerar hur en ekvationslösning går till, det vill säga hur man kan räkna ut vilket värde en variabel i en ekvation måste ha för att ekvationen ska stämma.

Enkla ekvationer

Vi börjar med att formulera en ekvation utifrån en konkret situation.

Låt säga att vi har varit i affären och köpt bananer för \(36\) kronor. Vi vet att priset var \(6\) kr per kg, så kan vi räkna ut hur många kilo bananer vi har köpt. Om vi betecknar antalet kilo bananer vi köpt med \(x\), så kan vi ställa upp en ekvation som beskriver förhållandet:

$$6x=36$$

Ekvationen ovan kan man alltså tolka så här:
Vi har köpt \(x\) kg bananer, varje kg bananer kostar \(6\) kr och totalt kostade bananerna \(36\) kr.

Tidigare har vi lärt oss att man kan förändra leden i en ekvation, så länge man gör samma sak i båda leden. Man måste alltså utföra samma räkneoperationer på uttrycken på båda sidorna om likhetstecknet.
Genom att utföra räkneoperationer på båda sidorna om likhetstecknet kan man skriva om ekvationen, så att variabeln står ensam i det ena ledet.

Det viktiga här är att man utför samma räkneoperation på såväl hela det vänstra ledet som hela det högra ledet - därigenom bevaras likheten mellan leden. Denna ekvationslösningsmetod kallas balansmetoden.

Exempel på lösning av enkla ekvationer

Vi adderar \(4\) till uttrycken i båda leden för att få \(x\) ensamt i vänster led:

$$x-4=5$$

$$x-4+4=5+4$$

$$x=9$$

Här subtraherar vi \(5\) från uttrycken i båda leden och får \(x\)  ensamt:

$$x+5=6$$

$$x+5-5=6-5$$

$$x=1$$

Vi multiplicerar uttrycken i båda leden med \(8\) för att lösa ut \(x\):

$$\frac{x}{8}=9$$

$$8\cdot \frac{x}{8}=9\cdot 8$$

$$x=72$$

Slutligen ett exempel där vi dividerar uttrycken i båda leden med \(10\) för att få ut \(x\):

$$10x=20$$

$$\frac{10x}{10}=\frac{20}{10}$$

$$x=2$$

Balansmetoden

Vi återgår till exemplet med bananinköpet.

$$6x=36$$

Nu kan vi räkna ut antalet kilo bananer vi köpte. Vi dividerar uttrycken i både vänster och höger led med \(6\), så att \(x\) (antal kg bananer) står ensamt i det vänstra ledet:

$$\frac{\cancel{6}x}{\cancel{6}}=\frac{36}{6}$$

$$x=6$$

De exempel vi tog upp ovan gick att lösa i ett steg genom att tillämpa en räkneoperation på uttrycken i båda leden. Det går även att lösa mer komplicerade ekvationer med flera steg. Det är då viktigt att komma ihåg att man alltid multiplicerar och dividerar alla termer i båda leden.

Flerstegsekvation

Låt oss ta ett exempel på lösning av en flerstegsekvation

$$3x+6=9$$

Vi börjar med att sätta \(3x\)-termen ensam i vänsterledet genom att subtrahera uttrycken i båda leden med \(6\):

$$3x+6 \;{\color{Red} -\; 6}=9 \;{\color{Red} -\; 6}$$

$$3x=3$$

I nästa steg vill vi bli av med \(3\):an framför \(x\):et. Vi gör oss av med \(3\):an genom att dividera båda leden med \(3\):

$$\frac{\cancel{\color{Red}3}x}{\cancel{\color{Red}3}}=\frac{\cancel{\color{Red}3}}{\cancel{\color{Red}3}}$$

$$x=1$$

Ekvation rot är 1.

Prövning

För att kontrollera att lösningen vi kommit fram till är rätta lösning kan vi pröva lösningen. Det innebär att man tar värdet på \(x\) som man kommit fram till och sätter in i originalekvationen, på alla ställen där det står \(x\). Om likheten i ekvationen gäller, är lösning giltig.

Tidigare i det här avsnittet löste vi följande ekvation

$$x-4=5$$

till

$$x=9$$

För att pröva denna lösning, byter ut \(x\):et i ekvationen mot 9 och får att

$$*VL=x-4=9-4=5$$

och

$$*HL=5$$

vilket ger att

$$*VL=HL$$

*VL= vänsterled, HL=högerled

Alltså stämmer lösningen.

Att använda sig av prövning är ett bra sätt att kontrollera att man inte gjort räknefel. Om vi hade kommit fram till ett resultat på ekvationen som inte bevarar likheten mellan vänster led och höger led när vi sätter in värdet på variabeln, då måste vi ha räknat fel någonstans.

Ekvationer med variabler i båda leden

Om en ekvation innehåller variabler i uttrycken i både vänsterled och högerled, löser vi ekvationen genom att först försöka samla alla variabler på samma sida.

Exempel

$$5x=380-42x$$

Addera \(42x\) till båda leden, så alla \(x\)-termer samlas i ena ledet (i det här fall vänsterledet):

$$5x\;{\color{Red} +\;42x}=380-42x\;{\color{Red} +\;42x}$$

$$47x=380$$

Härifrån gör vi precis som tidigare och delar uttrycken i båda leden med \(47\), för att få \(x\):et ensamt i vänstra ledet:

$$\frac{\cancel{47}x}{\cancel{47}}=\frac{380}{47}$$

$$x=\frac{380}{47}\approx 8,09$$

Ekvationer med variabel i nämnaren

I vissa ekvationer finns variabeln i nämnaren av ett bråkuttryck. Precis som tidigare gäller det att man gör samma räkneoperationer på båda sidorna för att bevara likheten. Om vi har ekvation

$$\frac{10}{x}=5$$

multiplicerar vi hela ekvationen (båda leden) med \(x\) och får att

$$\frac{10}{x}=5\Rightarrow \frac{10\cdot x}{x}=5\cdot x\Rightarrow 10=5x$$

Härifrån kan vi lösa ut \(x\) genom att dividera hela ekvationen med \(5\) och får att

$$\frac{10}{5}=\frac{5x}{5}\Rightarrow x=2$$

Som vi ser i beräkningen ovan, försvann \(x\):et i nämnaren och vi fick ett lösbart uttryck. Denna räknemetod används för att hantera variabler som finns i nämnaren i ekvationer.

Allmän lösning av linjära ekvationer

I det här avsnittet har vi hittills gått igenom ekvationer av första graden, det vill säga ekvationer där variabeltermen \(x\) är av graden 1, till skillnad från andragradsekvationer som innehåller minst en \(x^2\)-term. Förstagradsekvationer kallas linjära ekvationer.

Alla linjära ekvationer kan (efter eventuell förenkling) skrivas på formen

$$ax+b=0$$

$$a \neq 0$$

Där \(a\) och \(b\) är konstanter och \(x\) är vår variabel. Den allmänna lösningen till linjära ekvationer fås av att vi från ekvationen

$$ax+b=0$$

först subtraherar \(b\) från uttrycken i båda leden

$$ax+b\;{\color{Red} - \;b}=0\;{\color{Red} - \;b}$$

vilket ger oss

$$ax=-b$$

Dividera uttrycken i båda leden med \(a\), för att få \(x\) ensamt i det vänstra ledet:

$$\frac{ax}{a}=-\frac{b}{a}\Rightarrow x=-\frac{b}{a}$$

Sammanfattningsvis:

Om vi har en förstagradsekvation skriven på formen

$$ax+b=0$$

där \(x\) är en variabel, och \(a\) och \(b\) är konstanter, då har ekvationen en lösning

$$ x=-\frac{b}{a}$$