Formler och ekvationer
Vi ska nu gå in på definitionerna av ett par begrepp som används ofta i matematik. En formel är som ett recept, som man använder genom att sätta in relevanta värden. I ekvation finns det alltid minst ett okänt värde (en variabel). Att hitta lösningar (rötter) till ekvationen är att hitta vilket tal som kan användas på det okända värdets plats – som går att sätta in utan att ekvationen inte blir sann. Beroende på vilken sorts ekvation det är kan det finnas 1, 2 eller upp till oändligt många lösningar.
I det här avsnittet ska vi bygga vidare på vad vi lärt oss om uttryck och variabler och använda oss av formler och ekvationer.
En formel är ett samband mellan en eller flera variabler i form av ett algebraiskt uttryck.
Inom fysiken, kemin och även ekonomin är formler väldigt vanligt förekommande. Till exempel är ju hastigheten definierad som sträckan delat med tiden. Med våra vanliga beteckningar för hastighet \((v)\), sträcka \((s)\) och tid \((t)\), får vi formeln
$$v=\frac{s}{t}$$
Om vi återgår till vårt exempel med bokklubben från det föregående avsnittet, kan vi kalla kostnaden för bokklubbsböckerna för \(k\) och göra om det algebraiska uttrycket vi formulerade i det föregående avsnittet till en formel:
$$k=100+20x$$
En ekvation är en formel, där man kan lösa ut de okända variablerna och på så vis få veta det numeriska värdet, dvs. vilket värde variabeln har.
För att kunna göra det måste vi komma ihåg att likhetstecknet betyder att båda sidor är lika stora. Det betyder också att så länge som vi genomför samma matematiska räkneoperation på uttrycken på båda sidor som likhetstecknet, så kommer sidorna fortsätta att vara lika. Vi ska alltid sträva efter att få variabeln vi söker att stå ensam på ena sidan av ekvationen, då kan vi lätt ta reda på vilket värde den har.
Till exempel, hur många böcker får vi från bokklubben för \(300\) kronor?
Kostnaden för bokklubbsböckerna ska alltså vara \(300\) kr, vilket ger oss ekvationen
$$100+20x=300$$
Vi subtraherar \(100\) från såväl den vänstra som den högra sidan, för att få \(20x\) att stå ensamt på den vänstra sidan om likhetstecknet:
$$100+20x-100=300-100$$
$$20x=200$$
Vi dividerar sedan uttrycken på båda sidorna om likhetstecknet med \(20\), för att få \(x\) att stå ensamt:
$$\frac{20x}{20}=\frac{200}{20}$$
$$x=10$$
\(x\) är alltså lika med \(10\), vilket betyder att vi kan köpa \(10\) böcker för \(300\) kronor.
En lösning till en ekvation, till exempel att \(x = 10\) som vi såg ovan, kallas en rot. De båda uttryck som står på vardera sidan om likhetstecknet i en ekvation kallas led, där den vänstra sidans uttryck kallas vänsterled (VL) och den högra sidans uttryck kallas högerled (HL).
Här introducerar vi begreppet ekvation och vad det är.
Hjälpmedel
Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.
Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.
- Algebraiskt uttryck: Algebraiska uttryck är matematiska uttryck som innehåller minst ett okänt värde, som vi kallar variabel. Vi brukar ofta använda \(x\) som variabel, t.ex. \((2x + 5)\).
- Variabel: Ett tal vars värde är okänt. T.ex. för \(4x = 2\), så är endast \(\frac{1}{2}\) ett korrekt värde på \(x\). I detta fall har variabeln endast ett värde. I ekvationer av typen \(ax = b\), som kallas förstagradsekvationer, finns endast en lösning. Men i andra typer av ekvationer, av högre grad, t.ex. \(cx^2 = d\), kan variablerna också ha två, flera eller upp till oändligt många värden (rötter). För att bestämma variabelns värde ska vi alltid sträva efter att samla variabeluttrycken på ena sidan av likhetstecknet, därefter kan vi räkna ut variabelns värde.