Potensekvationer

Säg att vi har en kvadrat med arean 144 cm² (kvadratcentimeter). Hur lång är då kvadratens sida?

Vi vet att i en kvadrat är alla sidor långa och vi kan anta att kvadratens sida är x cm.

kvadrat01

Arean av en kvadrat bestäms av formeln

$\\A_{kvadrat}=sidan^{2}\\$

där s är sidan och A är arean. Det här ger oss ekvationen

$\\x^{2}=144\\$

I kapitlet om potenser såg vi att omvändningen, inversen, till potenser, är rotutdragningar. Det ger att:

$\\x=\sqrt{144}= 12\\$

Och vi får att kvadraten har sidan 12 cm.

Det här är ett exempel på en potensekvation av andra graden och som också kallas för en enkel andragradsekvation eftersom vi bara har ett steg i ekvationen (ta roten ur). Vi kan ha potensekvationer av högre grad, exempelvis tredjegradsekvationer.

Om vi tänker oss att vi har en vattentank som innehåller 27 m³ (kubikmeter) vatten och har formen av en kub. Hur lång är då tankens sida?

Vi vet att sidorna i en kub är lika långa och vi kan då anta att sidan på tanken är y cm lång.

kub01

Volymen av en kub fås av

$\\V_{kub}=s^{3} \\$

där V är volymen och s sidan. Det ger oss ekvationen:

$\\y^{3}=27\\ y=\sqrt[3]{27}\\ y=3 \\$

Och vi får kubens, eller i det här fallet tankens, sida till 3 m.

Den allmänna potensekvationen

De två exemplen här ovanför är specialfall av den allmänna potensekvationen.

Den allmänna potensekvationen kan skrivas som

$\\x^{n}=a\\$

Från kapitlet om potenser får vi följande lösningsmetod:

Vi upphöjer båda led till 1/n:

$\\x^{n}=a\\\\ (x^{n})^{\frac{1}{n}}=a^{\frac{1}{n}}\\\\ x=a^{\frac{1}{n}}\\$

I kapitlet om potenser kan vi se att en av potenslagarna säger oss att

$\\a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \\$

Flera rötter

I exemplen ovan så har vi enbart skrivit ut de positiva lösningarna till potensekvationerna (eftersom en sträcka aldrig kan vara negativ). Om vi använder oss av exemplet x² = 9 så kan vi se att

$\\x^{2}=9 \Rightarrow \sqrt{x^{2}}=\sqrt{9} \Rightarrow x=3\\$

Men vi vet också att

(-3) ∙ (-3) = 9 vilket ger att x² = 9 har två lösningar en positiv och en negativ. Detta gäller för alla andragradsekvationer. Men brukar skriva att

$\\x=\pm \sqrt{a}\\$

En tumregel för potensekvationer är att ekvationen har lika många rötter som den högsta exponenten som ingår. Dvs

$\\x^{3}+cx = a\\$

har 3 rötter och

$\\x^{4} - x^{2} + x = b \\$

har 4 rötter

Negativa exponenter

Fram tills nu har vi gått igenom enbart positiva exponenter, men vad händer om vi har en negativ exponent.

Säg att vi har ekvationen

$\\x^{-3}=8\\$

Från kapitlet om potenser så vet vi att vi har en potensregel som säger att

$\\a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}\\$

Vi kan använda oss av den regeln för att skriva om vår ekvation

$\\x^{-3}=8\\\\ \frac{1}{x^{3}}=8\\\\ \frac{1}{x^{3}}{\color{Blue} \,\cdot\, x^{3}}=8{\color{Blue} \,\cdot\, x^{3}}\\\\ 1=8x^{3}\\\\\frac{1}{{\color{Blue} 8}}=\frac{8x^{3}}{{\color{Blue} 8}}\\\\ \frac{1}{8}=x^3\\\\x^{3}=\frac{1}{8}\\\\ x=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\\\\ x=\frac{1}{2} \\$