Exponentialfunktioner och potensfunktioner

Vi har tidigare gått igenom hur man kan beskriva linjära funktioner med hjälp av räta linjens ekvation. I det här avsnittet ska vi titta på funktioner som inte är linjära, utan följer någon annan typ av samband.

Exponentialfunktioner

Funktionen behöver inte nödvändigtvis gå att beskriva enligt räta linjens ekvation. Om vi till exempel har 50 000 kr på banken och får en ränta på 2 % per år, då kommer våra pengar att öka enligt följande tabell:

År Kapital (kr) Ränta (kr) Summa (kr)
1 50 000 50 000 \( \cdot \) 0,02 = 1 000  51 000
2 51 000 51 000 \( \cdot \) 0,02 = 1 020  52 020
3 52 020 52 020 \( \cdot \) 0,02 = 1 040,40  53 060,40

Hur mycket pengar vi har på kontot kommer att påverkas av hur mycket vi får i ränta, och denna ränta kommer att öka ju mer pengar vi har på insatta på kontot. Därigenom kommer ökningen, räntan mätt i kronor, att förändras med tiden. Eftersom förändringen i form av ränta mätt i kronor inte är konstant, kan vi inte beskriva saldot på vårt konto med hjälp av en linjär funktion.

Jämför detta med om vi hade en linjär ökning (till exempel om vi varje år fick 2 % i ränta av det ursprungliga insatta kapitalet):

År Kapital (kr) Ränta (kr) Summa (kr)
1 50 000 50 000 \(\cdot\) 0,02 = 1 000  51 000
2 51 000 50 000 \( \cdot \) 0,02 = 1 000  52 000
3 52 000 50 000 \( \cdot \) 0,02 = 1 000  53 000

I det senare fallet ser vi att räntan (kapitalets ökning) mätt i kronor är konstant varje år. Hur mycket pengar som finns på vårt konto i detta senare fall kan beskrivas enligt:

$$y=50\,000+1000x$$

där y är kapitalets storlek x antal år efter att vi satte in pengarna på kontot. Vi ser att detta samband motsvarar den räta linjens ekvation, där k = 1000 och m = 50000.

Det första, ickelinjära fallet däremot följer strukturen

$$pengar \, efter \, x \, år=startkapital\cdot förändringsfaktorn^{x\, antal\, år }$$

Här har x-variabeln hamnat i exponenten. Räntan, och så även funktionen, är exponentiell. I detta fall kan vi alltså skriva funktionen som:

$$f(x)=50000\cdot 1,02^{x}$$

Nu ska vi se på skillnaden på hur funktionernas grafer ser ut i ett koordinatsystem.

Exponentialfunktioner _01

Den undre, räta linjen är fallet med den linjära ökningen, och den krökta, övre kurvan är fallet med den exponentiella ökningen. En tolkning av dessa båda grafer är att det i det här exemplet är mer lönsamt att ha en procentuell ränteökning på 2 %, än att få ett bestämt återkommande belopp baserat på 2 % av det ursprungliga insatta kapitalet.

En exponentialfunktion definieras allmänt som

$$f(x)=C\cdot a^{x}$$

där C och a är konstanter, och x som vanligt är den oberoende variabeln. I vårt exempel med exponentialfunktionen ovan är C = 50 000 och a = 1,02. Om konstanten a är större än 1 är funktionen exponentiellt växande, och om a är mindre än 1 är funktionen exponentiellt avtagande.

Potensfunktioner

Nu ska vi gå igenom en annan typ av ickelinjära funktionssamband. Vi börjar återigen med ett exempel:

Ett fritt fall kan beskrivas av funktionen

$$s(t)=4,9t^{2}$$

där s är sträckan i meter och t är tiden i sekunder.

Detta är ett exempel på en potensfunktion. I detta fall återfinns den oberoende variabeln i potensens bas, snarare än i exponenten (som var fallet för exponentialfunktioner).

Den allmänna potensfunktionen definieras som

$$f(x)=C\cdot x^{n}$$

där C och n är konstanter, och x är den oberoende variabeln.

Om n = 0 eller n = 1, så är funktionen en linjär funktion och får då en linjär graf. Med andra ord är linjära funktioner specialfall av potensfunktioner mer generellt. Är funktionen inte en linjär funktion så har dess graf formen av en böjd kurva - hur sådana kurvor ser ut kan variera kraftigt.

Exponentialfunktioner _02

Ovan ser vi grafen till funktionen för ett fritt fall åskådliggjord i ett koordinatsystem. I detta fall är funktionen en potensfunktion med konstantvärdena C = 4,9 och n = 2.

Om värdet på någon av variablerna t eller s anges, så får vi en potensekvation, vilket ju är något som vi har träffat på tidigare.

Videolektioner

Här går vi igenom exponentialfunktioner och potensfunktioner.

Här räknar vi antal bakterier med hjälp av en exponentialfunktion.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Exponentialfunktioner och potensfunktioner? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!