Exponentialfunktioner och potensfunktioner

Vi har tidigare gått igenom en linjär funktion. Alla typer av ekvationer som innehåller två okända (x och y) variabler kan sättas in i ett koordinatsystem. Dessa typer av ekvationer kallas för funktioner. En rät linje kallas för linjär funktion. Ofta brukar man beteckna linjära funktioner:

$\\f(x)=kx+m\\$

Man läser vänster led "f som funktion av x". Anledningen till att man skriver på detta sätt och inte med ett y i vänster led, är för att tydliggöra att det är variabler det handlar om. x och y har oändligt antal värden som kan sättas in - till skillnad mot om x och y är konstanter. Funktionen behöver inte nödvändigtvis lyda enligt räta linjens ekvation. Till exempel: Om vi har 50 000 kr på banken, och har en ränta på 2 % årligen, så kommer våra pengar öka enligt:

År	Kapital	Ränta	Summa
1	50 000	50 000 ∙ 0,02 = 1000	51 000
2	51 000	51 000 ∙ 0,02 = 1020	52 020
3	52 020	52 020 ∙ 0,02 = 1040,40	53 060,40

Jämför detta med om vi hade en linjär ökning (2%):

År	Kapital	Ökning	Summa
1	50 000	50 000 ∙ 0,02 = 1000	51 000
2	51 000	50 000 ∙ 0,02 = 1000	52 000
3	52 000	50 000 ∙ 0,02 = 1000	53 000

I det senare fallet ser vi att ökningen är konstant varje år. Pengarna kan beskrivas enligt:

$\\y=50000+1000x\\$

där x är antalet år. I det första fallet däremot följer strukturen enligt:

$pengar\ efter\ x\ antal\ \aa r=startkapital\cdot f\ddot{o}r\ddot{a}ndningsfaktor^{x\ antal\ \aa r}\\$

Här har x-variabeln hamnat i exponenten. Räntan och så även funktionen är exponentiell.

$\\f(x)=50000\cdot1,02^{x}\\$

Nu ska vi se på skillnaden på hur funktionerna ser ut i ett koordinatsystem.

exponentialfunktion

Den undre, räta linjen är den linjära ökningen och den krökta, övre kurvan är den exponentiella ökningen. Det är med andra ord mer lönsamt att ha en procentuell ränteökning, än att få ett bestämt återkommande belopp.

En exponentialfunktion definieras som

$\\f(x)=C\cdot a^{x}\\$

där C och a är konstanter. I vårt fall här ovan är C = 50 000 och a =1,02. Om a är större än 1 är funktionen exponentiellt växande och om a är mindre än 1 är funktionen exponentiellt avtagande.

Potensfunktioner

Ett fritt fall kan beskrivas av funktionen

$\\s(t)=4,9t^{2}\\$

där s är sträckan i meter och t är tiden i sekunder.

Detta är ett exempel på en potensfunktion. Den allmänna potenfunktionen definieras som

$\\f(x)=C\cdot x^{n}\\$

där C och n är konstanter och x den oberoende variabeln. Om a=0 eller a=1 så är funktionen linjär och får då en linjär graf. I annat fall är grafen en böjd kurva.

potensfunktion

I det först givna fallet är C = 4,9 och a = 2. Om värdet till någon av variablerna t eller s anges får vi en potensekvation.