Implikation, ekvivalens och bevisföring

I det här avsnittet ska vi bekanta oss lite mer med hur man kan resonera inom matematiken för att komma fram till ny kunskap och bevisa att ett påstående stämmer.

Implikation

Om en händelse A inträffar och leder till att händelse B inträffar, så kallas detta för implikation och symboliseras med en pil: A→ B.

Ett exempel på en matematisk implikation skulle kunna vara:
(A) Fyrhörningen har tre räta vinklar. → (B) Det fjärde hörnet i fyrhörningen är en rät vinkel.

Med omvänd implikation menas att implikationen även fungerar i andra riktningen, dvs. att om A→B, så ska även B→A. Det måste inte alltid vara så att omvänd implikation gäller, att B→A om A→B.


Här är ett exempel på detta:

Om A: x = 3 och B: x2 = 9, så gäller ju att A→B , men om vi vänder på implikationen (till B→A) så blir det fel, för om x2 = 9 så behöver inte x = 3 gälla, eftersom det ju likväl kan vara så att x = -3. Den omvända implikationen gäller alltså inte i alla situationer.


På samma sätt kan vi ta följande vardagliga exempel:

A: Det regnar ute.

B: Jag har med mig mitt paraply när jag går ut.

Även om A→B gäller (om det regnar ute, så har jag med mig mitt paraply när jag går ut), så behöver inte B→A gälla (om jag har med mig mitt paraply när jag går ut, så regnar det ute).


Ekvivalens

Om en implikation gäller i båda riktningarna, så symboliseras det med en dubbelpil: ↔. Det kallas för att det är ekvivalens mellan påståendena.

Exempel: x = -2 ↔ 4+2x = 0

Bevisföring

Med ett matematiskt bevis menar vi ett logiskt resonemang som leder fram till vissa slutsatser, under förutsättning att premisserna stämmer och resonemanget är korrekt. Det sätt som vi idag sköter bevisföring inom matematiken är framtaget av den grekiske matematikern Euklides omkring år 300 f.Kr.. Hans metoder bygger på att man först anger definitioner och axiom (grundsatser) och sedan genom bevisföring härleder satser.


Bevis av Pythagoras sats

Vi vill bevisa att Pythagoras sats stämmer. Att bevisa en och samma sats kan ofta göras på flera olika sätt.

För att bevisa Pythagoras sats börjar vi vårt resonemang med en rätvinklig triangel, som den i figuren nedan. Hypotenusan är sidan med längden c och kateterna har längderna a respektive b längdenheter.

Implikation Bevisforing _01

Nu utvidgar vi denna triangel, genom att vi bygger ut figuren med ytterligare tre likadana trianglar, så att de fyra trianglarna gemensamt bildar dels en stor fyrhörning med sidan (a + b) längdenheter, dels avgränsar en mindre fyrhörning med sidan c längdenheter, enligt figuren nedan.

Implikation Bevisforing _02

Tittar vi på fyrhörningen i mitten så är alla sidor lika långa (c längdenheter) och vinklarna är av symmetriskäl lika stora. Då måste de vara 90 grader, eftersom en fyrhörning har vinkelsumman 360 grader. Således har vi en kvadrat i mitten.

Nästa steg är att teckna arean på den stora fyrhörningen, som också måste vara en kvadrat. Den har sidan (a + b) längdenheter, så dess area måste vara (a + b)2 areaenheter.

Samma area kan vi teckna på ett annat sätt: Vi har fyra identiska trianglar med respektive area

$$\frac{a\cdot b}{2}$$

vilket ger oss att de fyra trianglarnas totala area kan tecknas som

$$\frac{4\cdot a\cdot b}{2}=2ab$$

Kvadraten i mitten har sidan c längdenheter, och dess area blir därför c2 areaenheter.

Alltså gäller följande samband mellan kvadraternas areor:

$$(a+b)^2=2ab+c^2$$

Utvecklar vi VL får vi

$$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$$

Subtraherar vi nu 2ab från båda ledan får vi

$$a^2+b^2=c^2$$

Vilket är det samband vi skulle bevisa.


Videolektion

Vi går igenom implikation och ekvivalens.

Vi bevisar yttervinkelsatsen.

Har du en fråga du vill ställa om Implikation, ekvivalens och bevisföring? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!