Eftersom en vektor har både en riktning och en storlek så måste
man hålla koll på båda parametrarna när man räknar med
vektorer.
Produkten av en skalär och en vektor
Om vi multiplicerar en vektor med en positiv skalär behåller
vektorn riktningen, men den får en ny längd. Multiplicerar vi
vektorn med 3 så kommer vektorn bli tre gånger längre.
Vi kan använda ett exempel med en kraft för att förklara detta.
En kraft har både en längd (hur stor kraften är) och en riktning.
Om vi tredubblar en kraft så kommer den bli tre gånger så lång
(efter som den blir tre gånger så stor), men den kommer behålla
samma riktning.
Om vi multiplicerar en vektor med ett negativt tal kommer den
nya vektorn få motsatt riktning och en ny längd. Multiplicerar vi
vektorn med -3 så kommer vektorn bli tre gånger längre.
Addition av vektorer
När man adderar två vektorer så ändras både riktning och längd.
Termerna i en vektoraddition kallas för komposanter och summan för
resultant. Summan av två vektorer blir diagonalen i det
parallellogram som bildas av de två vektorerna.
Man kan se det som att man parallellflyttar den ena vektorn så
att dess starpunkt sammanfaller med den andras slutpunkt. Då kommer
summan av de två vektorerna vara den vektor som kan dras mellan
dem.
Subtraktion av vektorer
Precis som att vi kunde se det som att vi la till ett negativt
tal när vi subtraherade tal så kan vi se det som att istället för
att vi subtraherar en vektor så adderar vi motsvarande negativa
vektor
Det här får vi göra eftersom att om vi multiplicerar en vektor
med (-1) så kommer vi få en vektor med exakt samma längd men
motsatt riktning.
Med andra ord om vi vill se det med bilder. Om vi vill veta
differensen mellan vektorerna a och b i bilden nedan
Börjar vi med att tolka om det så vi istället vill ha summan av
a och den motsatta vektorn till b.
Därefter parallellförflyttar man den ena vektorn så att de
ligger så att den ena vektorns slutpunkt är densamma som den andra
vektorns startpunkt (precis som vid addition av vektorer)
Den vektorn som bildas mellan vektor a:s startpunkt och vektor
b:s slutpunkt är summan av vektorerna.
Dvs:
Vektorer i koordinatform
Vi beskrev i kapitlet om vektorer att en vektor som har längden 1 och
som har samma riktning som axlarna i ett koordinatsystemet kallas
för enhetsvektorer. Vi kan använda enhetsvektorerna för att
uttrycka andra vektorer med deras koordinater. Om vi ser vektorn a
som resultanten till två komposanter ax och
ay som är parallella med koordinataxeln så kan vi
beräkna vektorns koordinater.
Vill man addera två vektorer i koordinatform kan man addera de
två vektorernas respektive komposanter
Exempel.
Vi har de två vektorerna
Och vi vill ha reda på vad resultanten till de båda vektorerna
har för koordinater
Sammanfattning av räkneregler för vektorer
