Räkna med vektorer

I det förra avsnittet började vi bekanta oss med vektorer och i det här avsnittet ska vi undersöka några räkneregler som gäller då vi använder oss av vektorer.

Eftersom en vektor har både en storlek och en riktning måste man hålla koll på båda dessa parametrar när man räknar med vektorer.

Produkten av en skalär och en vektor

Som vi kortfattat kom in på i det förra avsnittet, är en skalär en storhet som kan beskrivas med hjälp av bara ett enda tal (till skillnad från vektorer som ju beskrivs av dess storlek och dess riktning tillsammans).

Om vi multiplicerar en vektor med en positiv skalär, då behåller vektorn sin tidigare riktning, men den får en ny storlek. Multiplicerar vi till exempel vektorn \(\overrightarrow{v}\) med skalären 3, så kommer vektorpilen att bli tre gånger längre (vektorns storlek ökar med en faktor 3), vilket vi visar i figuren nedan.

Vektor

Vi kan använda ett exempel med en kraft för att förklara detta. En kraft har både en storlek (hur stor kraften är) och en riktning (i vilken riktning kraften verkar). Om vi tredubblar en kraft, så kommer den att bli tre gånger så stor, men den kommer att behålla samma riktning som tidigare.

Om vi multiplicerar en vektor med en negativ skalär, då kommer den nya vektorn att få motsatt riktning och en ny storlek. Multiplicerar vi till exempel vektorn med -3, så kommer vektorn att bli tre gånger längre, men i det här fallet får den också motsatt riktning mot tidigare, vilket vi illustrerar i figuren nedan.

Vektor1

Addition av vektorer

När vi adderar två vektorer med olika riktningar kommer den nya vektorn få en annan storlek och riktning. Adderar vi två vektorer med samma riktning kommer storleken att ändras, men inte riktningen. Termerna i en vektoraddition kallas för komposanter och summan av komposanterna kallas resultant. I en figur kan man åskådliggöra summan av två vektorer som diagonalen i det parallellogram som bildas av de två vektorerna (resultanten har markerats med en blå pil i figuren nedan):

Vektor 11

Man kan se det som att man parallellförflyttar den ena vektorn (vektorn \(\vec b\) i figuren nedan), så att dess startpunkt sammanfaller med den andra vektorns slutpunkt (vektorn \(\vec a\) i samma figur). Då kommer summan av de två vektorerna att utgöras av den vektor som kan dras mellan den ena vektorns startpunkt \((\vec a)\) och den parallellförflyttade vektorns slutpunkt \((\vec b)\):

Vektor 12

Subtraktion av vektorer

I avsnittet om negativa tal kom vi fram till att vi kan se subtraktion som samma sak som addition av ett negativt tal. På samma sätt kan man se subtraktion av en vektor som addition av motsvarande motsatta vektor (det vill säga den vektor som har motsatt riktning men samma storlek). Man kan skriva det så här:

$$ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$$

Det här får vi göra eftersom att om vi multiplicerar en vektor med skalären (-1), så kommer vi att få en vektor med exakt samma storlek men med motsatt riktning, vad vi kallar en motsatt vektor.

Vektor 123

Om vi har två exempelvektorer \(\vec a\) och \(\vec b\) enligt figuren nedan

Vektor 12312

och ska komma fram till differensen mellan vektor \(\vec a\) och vektor \(\vec b\), då kan vi börja med att tolka om situationen som att vi istället vill ha summan av vektorn \(\vec a\) och vektorn \((-\vec b)\):

Vektro5

Därefter gör vi precis som vi kom fram till tidigare, när vi gick igenom addition av vektorer: vi parallellförflyttar en av vektorerna så att den ena vektorns startpunkt är densamma som den andra vektorns slutpunkt. Vi får då en figur enligt följande:

Vektro4

Den vektor \(\vec c\) som bildas mellan vektor \(\vec a\):s startpunkt och vektor \((-\vec b)\):s slutpunkt, är summan av vektorerna (resultanten).

Namnlös

Resultanten \(\vec c\) kan alltså uttryckas så här med hjälp av vektorerna \(\vec a\) och \(\vec b\):

$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})$$

Vektorer i koordinatform

Vi beskrev i det inledande avsnittet om vektorer att en vektor som har längden 1 kallas för en enhetsvektor. Vi kom också fram till att vi kan välja enhetsvektorer sådana att de har samma riktning som axlarna i ett koordinatsystem.

När vi väl har definierat sådana speciella enhetsvektorer, kan vi använda dem för att uttrycka andra vektorer.

Om vi ser vektorn \(\vec a\) som resultanten till två komposanter \(\vec a_x\) och \(\vec a_y\) som är parallella med x-axeln respektive y-axeln, så kan vi uttrycka resultantens koordinater med hjälp av enhetsvektorer:

Vektro 1342

Komposanten \(\vec a_x\) kan skrivas som en skalärmultipel av enhetsvektorn \(\vec e_x\), medan komposanten \(\vec a_y\) kan skrivas som en skalärmultipel av enhetsvektorn \(\vec e_y\), enligt följande:

$$ \\\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_x}+\overrightarrow{a_y}= 2\cdot\overrightarrow{e_{x}}+3\cdot\overrightarrow{e_{y}}=(2,3)$$

De koordinater (2,3) som vi använder för att beskriva vektorn i koordinatform, är, som vi såg ovan, samma skalärer som vi multiplicerade respektive enhetsvektor med för att få vektorns komposanter.

Vill man addera två vektorer i koordinatform, kan man addera de två vektorernas respektive komposanter, och därigenom få resultanten så här:

$$\\ \begin{align} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &=(a_x,\, a_y)\,+\,(b_x,\, b_y)= \\ &=(a_x + b_x,\, a_y + b_y) \end{align}$$


Vi har de två vektorerna

$$\overrightarrow{a}=(2,3)$$

$$\overrightarrow{b}=(3,1)$$

och vi vill ta reda på vad resultanten till de båda vektorerna har för koordinater. Då räknar vi enligt formeln ovan så här:

$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(2,3)+(3,1)=(2+3, 3+1)=(5,4)$$


Sammanfattning av räkneregler för vektorer

Nu kan vi sammanfatta de räkneregler för vektorer skrivna i koordinatform som vi kommit fram till enligt följande generella samband:

Addition av vektorer

\(\\ \begin{align} \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} &=(a_x,\, a_y)\,+\,(b_x,\, b_y)= \\ &=(a_x + b_x,\, a_y + b_y) \end{align}\)

Subtraktion av vektorer

\(\\ \begin{align} \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} &=(a_x,\, a_y)\,-\,(b_x,\, b_y)= \\ &=(a_x - b_x,\, a_y - b_y) \end{align} \)

Multiplikation med skalär

\(s\cdot \overrightarrow{a}=s\cdot (a_x,\, a_y)=(s\cdot a_x,\, s\cdot a_y)\)

där s är en skalär.

Videolektion

Här visar vi hur man räknar med vektorer.

Har du en fråga du vill ställa om Räkna med vektorer? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!