Rätblock, prisma och cylinder

I det förra avsnittet gick vi igenom hur vi kan beräkna omkrets och area av några vanligt förekommande tvådimensionella figurer. I det här avsnittet ska vi se hur vi kan beräkna volymen för några vanliga tredimensionella kroppar: rätblock, prismor och cylindrar.

Rätblock

Ett rätblock är en tredimensionell figur med enbart räta vinklar i dess åtta hörn, som ser ut som i illustrationen nedan. Man kan tänka på rätblock som figurer som har samma form som en typisk skokartong eller en tegelsten.

Ett annat sätt att tänka på rätblock är att man har en tvådimensionell figur i form av en rektangulär bottenyta, och sen lägger man till ytterligare en dimension - man låter en "låda" växa fram genom att den tvådimensionella bottenytan även får en viss höjd och vi får därigenom en tredimensionell figur, ett rätblock.

Ratblock _01

I exempelfiguren ovan har utifrån detta sätt att tänka i så fall den rektangulära bottenytan en area som bestäms av de båda sidorna med längden 3 - rätblocket bildas genom att vi även tar med höjden i figuren, som har längden 2.

Om vi multiplicerar rätblockets bottenarea med dess höjd får vi det som vi kallas för rätblockets volym (V).

$${V}_{rätblock}=basen\cdot bredden\cdot höjden=basarean\cdot höjden$$

Volym mäts i kubikenheter. När rätblockets sidor har enheten meter blir alltså volymen kubikmeter (m3). En kubikmeter motsvarar volymen på en kub som har sidan en meter. En kub är ett specialfall av rätblock, där alla rätblockets sidor har samma längd.

Om längdenheten i vår exempelfigur ovan är meter, då får vi genom volymformeln följande volym:

$$V=3\cdot 3\cdot 2=18m^3$$

Precis som vi gjorde med enheter för area kan vi visa hur vi ändrar mellan olika enheter när det rör sig om volym:

$$1\,m^{3}=1(10\,dm)^{3}=1\cdot 10^{3}\;dm^{3}=1000\;dm^{3} $$

Prisma

Ett prisma är en tredimensionell kropp, vars bottenyta har formen av en månghörning (till exempel en femhörning) och som har en viss höjd. I själva verket är ett rätblock ett specialfall av prisma, där bottenytan har formen av en rektangel; ett prisma kan dock ha många olika former på bottenytan, till exempel kan bottenytan vara triangulär (ha formen av en triangel).

Geometri __prismor _01

Volym för ett prisma motsvaras av bottenytans area multiplicerad med prismats höjd:

$$V_{prisma}=A\cdot h$$

Cylinder

En cylinder är på samma sätt som ett rätblock en tredimensionell kropp, men för cylindrar gäller att de har en bottenyta i form av en cirkelyta och en viss höjd.

Geometri __cylindrar _01

Volymen för en cylinder motsvaras av bottencirkelns area multiplicerad med cylinderns höjd:

$$V_{cylinder}=A\cdot h=\pi \cdot r^{2}\cdot h$$

Begränsningsyta och mantelarea

Om vi summerar alla areor på alla ytor på en kropp, får vi den så kallade begränsningsytan. Den välvda ytan på cylindern (eller t.ex. en kon) kallas för mantelyta. Man kan tänka på dessa ytor som det "skal" som avgränsar de olika kropparna.

Videolektioner

Här går vi igenom hur vi beräknar volymen och arean av tredimensionella figurer.

Här räknar vi ut volymen på en läskburk.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Rätblock, prisma och cylinder? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!