Vektorer

En hastighet kan vara olika stor (till exempel kan en bil köra olika fort) och ha olika riktning (höger, vänster, framåt, bakåt, uppåt, neråt, etc.). Hastighet är ett exempel på en storhet som kan beskrivas som en vektor.

Vektorer

En vektor är en storhet som har både en storlek (magnitud) och en riktning, till skillnad från en skalär, som är en storhet som enbart har en storlek (till exempel en volym eller en temperatur).

Andra exempel på storheter som kan beskrivas som vektorer är kraft och acceleration. Användning av vektorer, med de räkneregler som gäller för dessa, kan underlätta när vi till exempel har en situation där olika stora krafter verkar i olika riktningar på ett föremål och vi är intresserade av vilken påverkan dessa krafter har sammantaget.

Vektorer betecknas oftast med bokstäver med en pil ovanför, för att tydliggöra att det är en storhet med såväl storlek som riktning. Här är ett exempel på hur man kan visa detta:

där vektorn

\(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB} \)

När man ska åskådliggöra en vektor i en figur, har den en bestämd startpunkt (A) och en bestämd slutpunkt (B), och en riktning däremellan som markeras med en pil.

Vektorer som har samma längd och samma riktning är likadana (pilens längd representerar vektorns storlek/magnitud, medan vart pilen pekar visar vektorns riktning).

I bilden ovan är vektorerna \(\overrightarrow{a} \, och \, \overrightarrow{b} \) lika. De är visserligen förskjutna relativt varandra, men när man avgör om två vektorer är lika bedömer man bara deras storlek och riktning.

Parallella vektorer

Två vektorer är parallella om de har samma eller motsatt riktning.

\(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b},\overrightarrow{d}\; och\,\overrightarrow{e}\) är parallella, \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b},\; och\, \overrightarrow{d},\) har samma riktning och \(\overrightarrow{e} \) har motsatt riktning.

Vektorers storlek

Längden på en vektor kallas även för vektorns storlek eller vektorns absolutbelopp, och betecknas

$$\left | \vec{v} \right | $$

Längden på en vektor får man genom att använda Pythagoras sats.

Låt oss titta på ett exempel där vi beräknar en vektors längd:

Vi vill räkna ut längden på vektorn som avbildats i koordinatsystemet nedan:

vektor03

För att göra detta tar vi först reda på längden på katetrarna i den rätvinkliga triangel som bildas om vi delar upp vektorns längd längs x-axeln och y-axeln.

Längden på de båda katetrarna blir 4 - 1 = 3 längdenheter, vilket vi nu använder i Pythagoras sats för att få ut längden på hypotenusan (som ju motsvarar längden på vektorn):

$$\left | \vec{v} \right |\;=\;\sqrt{\left ( 4\;-1 \right )^{2}+\left ( 4\;-\;1 \right )^{2}}=\sqrt{3^{2}\;+\;3^{2}}=\sqrt{18}\approx 4,24$$

Parallellförflyttning av vektorer

En vektor kan flyttas i ett koordinatsystem parallellt med sin riktning utan att längden eller riktningen på vektorn ändras. Det kallas att man parallellflyttar vektorn och kan användas för att flytta vektorn till origo.

Vektor 04

Fördelen med att ha en vektor som har sin startpunkt i origo är att man kan representera vektorn med slutpunktens koordinater. En sådan representation innebär att vi entydigt anger såväl vektorns storlek som dess riktning med hjälp av endast de två koordinaterna.

Vektor 05

Vår vektor från exemplet ovan kan vi därför entydigt beskriva som

$$\overrightarrow{v}=\left ( 3,\;3 \right )$$

Enhetsvektorer

En vektor som har längden 1 kallas för en enhetsvektor. Enhetsvektorer som har riktningen längs med någon av koordinatsystemets axlar är särskilt användbara, eftersom vi kan använda dessa för att uttrycka andra vektorer. I nästa avsnitt kommer vi att titta på hur vi kan göra detta.

Videolektion

Här ska vi ta reda på längden av en vektor.

Har du en fråga du vill ställa om Vektorer? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!