Förändringar i procent

I detta avsnitt repeterar vi procenträkning och procentuella förändringar.

Procent betyder hundradel och betecknas med \(\%\)-tecknet. Exempelvis betyder \(5\,\%\) att vi har delat något i hundra delar och tagit fem av de delarna. I bråkform skriver vi detta som \(\frac{5}{100}\) och i decimalform som \(\small{0,05}\). Detta förhållande kallas också för andelen och brukar skrivas:

$$Andelen=\frac{Delen}{Hela}$$

Om vi känner till andelen och vet hur mycket det hela är, så kan man bestämma hur stor delen är genom att lösa ut Delen ur formeln. Vi får:

$$Delen = Andelen\cdot Hela$$

Exempel 1:

4 kompisar köper en lott tillsammans och vinner 10000 kronor. Om varje person har betalat \(\frac{1}{4}\) del av lottpriset så äger de \(\frac{1}{4}\) av lotten.
Varje person måste få sin andel som är \(\frac{1}{4}=\small{0,25}=\small{25}\,\%\) av vinsten också.

För att kunna räkna \(\small{25}\,\%\) av vinsten måste vi omvandla från \(\%\)-form till decimalform först:

$$25\,\%=\frac{25}{100}=0,25$$

Varje person får:

$$25\,\% \,\texttt{av} =0,25\cdot10000= 2500\, \texttt{kronor}$$

Svar: Varje person får sin del som är \(\small{2500}\) kronor.

Om man vet andelen och vet hur stor delen är kan man också räkna ut hur stor det hela är genom att lösa ut Hela ur formeln:

$$Hela=\frac{Delen}{Andelen}$$

Exempel 2:

Anna har lånat pengar från banken för att köpa en bil. Anna har glömt hur mycket hon är skyldig till banken. Hon vet att räntan är \(\small{5}\,\%\) och att hon betalar \(\small{4\,000}\) kronor. Hur mycket är hon skyldig banken?

$$Hela=\frac{Delen}{Andelen}=\frac{4\,000}{0,05}=80\,000\, \texttt{kronor}$$

Svar: Hon är skyldig \(\small{80\,000}\) kronor till banken.

Procent används också för att ange storleken på en förändring. Affärer brukar skriva \(\small{50}\,\%\) rea i sina annonser. Eftersom \(\small{50}\,\% = \frac{50}{100} =\frac{1}{2}\) så innebär detta att man ska betala hälften av ordinariepriset. Om exempelvis en jacka kostar \(\small{1000}\, kr\) så kommer den kosta \(\small{500}\) kronor efter rean.

Om vi vill räkna förändringen i procent så delar vi värdet på förändringen med det ursprungliga värdet. Om exempelvis en produkt som kostar \(\small{800}\) kronor säljs för \(\small{600}\) kronor så blir den procentuella förändringen:

$$\begin{align} \frac{\texttt{Förändringen}}{\texttt{Ursprungliga värdet}}=\frac{800-600}{800} &=\\ &= \frac{200}{800}= 0,25 &=\\ &= \frac{25}{100} = 25\,\% \end{align}$$

Svar: Priset har minskat med \(\small{25}\,\%\).

Det är viktigt att ange om förändringen var minskning eller ökning.

Ibland anges förändringar i procentenheter. Detta används när man vill beskriva förändringen mellan två procentuella värden.

$$\texttt{Förändringen i procentenheter} = \texttt{Nya procentsatsen} - \texttt{gamla procentsatsen}$$

Exempel 3:

Räntan ökar från \(\small{2,5}\,\%\) till \(\small{3,0}\,\%\).
a) Bestäm förändringen i procentenheter

$$\texttt{Förändringen i procentenheter}= \texttt{Nya procentsatsen} - \texttt{gamla procentsatsen}=$$

$$=3,0\, \% - 2,5\, \%= 0,5\, \texttt{procentenheter}$$

Svar: Räntan har ökat med \(\small{0,5}\) procentenheter.

b) Bestäm förändringen i procent.

$$\begin{align} \frac{\texttt{Förändringen}}{\texttt{Ursprungliga värdet}}=\frac{3,0\,\%-2,5\,\%}{2,5\,\%} &=\\ &= \frac{0,5\,\%}{2,5\,%}= 0,2 &=\\ &= \frac{20}{100} = 20\,\% \end{align}$$

Svar: Förändringen i procent ökat med \(\small{20}\, \%\).

Det är viktigt att skilja på förändringar i procentenheter och förändringar i procent.

Promille

För att visa mindre förändringar används också tusendelar. Detta kallas för Promille och betecknas med \(‰\)-tecknet. Exempelvis betyder \(2\,‰\) att vi har delat något i tusendelar och tagit två av de delarna. I bråkform skriver vi detta som \(\frac{2}{1000}\) och i decimalform som \(\small{0,002}\). Samma beräkningar som för procent gäller också för promille.