Medelvärde, median, typvärde och variationsbredd

I det förra avsnittet lärde vi oss om hur man kan tolka diagram och att olika typer av diagram kan vara användbara beroende på vilken information man vill åskådliggöra. I det här avsnittet ska vi gå igenom några statistiska mått som också kan hjälpa oss att beskriva statistiskt material.

Medelvärde

Ett medelvärde är ett värde som ungefärligt representerar en uppsättning värden. Hur representativt medelvärdet är för uppsättningen av värden varierar från situation till situation, men ofta är det ett smidigt sätt att ungefärligt sammanfatta en uppsättning värden.


Låt oss förklara det tydligare genom följande exempel

Under en vecka joggade Amina varje kväll. Hon sprang mellan 7 och 12 km, och för att komma ihåg hur långt hon sprungit förde hon in i en tabell distanserna hon sprungit. Om någon frågar hur långt Amina sprang varje kväll är det krångligt att återge alla sju distanserna.

Det skulle vara enklare att kunna ange ett enda värde som beskrev på ett ungefär hur mycket Amina sprang under kvällarna denna vecka. Om vi räknar ut den totala distansen hon sprungit och sedan delar den med 7 dagar, så kommer vi att få ett mått på den totala distansen jämnt utspridd över veckans dagar, vilket kan se ut så här:

$$\frac{7+8+7,5+8+12+7,5+9}{7}=\frac{59}{7}\approx 8,4 km $$

Amina kan alltså svara personen som frågar henne att hon i genomsnitt joggade 8,4 km varje kväll sett över hela veckan.

Detta kallas att ange ett medelvärde. Formeln för att räkna ut ett medelvärde är:

$$medelvärde = \frac{summan\;av\; värdena}{antal \, värden}$$

Jämför medelvärdet multiplicerat med antalet dagar med den totala distansen Amina sprang:

$$8,4+8,4+8,4+8,4+8,4+8,4+8,4\,km=$$

$$=7\cdot 8,4\,km\approx 59\,km$$

Medelvärdet är därför ett värde som vi kan låta ungefärligt representera värdena i en uppsättning av värden.


Median

Ibland händer det att ett medelvärde ger en skev bild av helheten, även om det är matematiskt korrekt. Detta kan ske eftersom till exempel ett väldigt stort eller ett väldigt litet värde i jämförelse med de andra värdena i uppsättningen av värden kan komma att påverka genomsnittet kraftigt, som då blir missvisande.

I sådana lägen har man ibland större nytta av att kunna ange medianvärdet. Medianen är det värde som hamnar precis i mitten av en uppsättning värden som sorterats i storleksordning.


Vi ska illustrera detta i följande exempel

Mikael var ute och fjällvandrade under fem dagar. Varje dag vandrade han cirka 40 km, förutom en dag då han tog det lugnt och bara vandrade 5 km:

Dag Sträcka (km)
1 38
2 40
3 41
4 5
5 41

Vi ska jämföra medelvärdet med medianvärdet. Vi börjar med att räkna ut medelvärdet:

$$medelvärde=\frac{38+40+41+5+41}{5}=33\,km$$

Han vandrade alltså i genomsnitt 33 km per dag, men att han bara gick 5 km en dag drog ner medelvärdet kraftigt (beräknar vi medelvärdet för de fyra dagar då Mikael vandrade långa sträckor, blir detta medelvärde 40 km).

Ett medianvärde kanske ger en mer rättvis bild av hur långt han brukade gå varje dag. Vi börjar med att sortera värdena i tabellen ovan i storleksordning:

$$5,\: 38,\: 40,\: 41,\: 41$$

Det mittersta värdet i uppsättningen är 40. Detta värde utgör medianvärdet för denna uppsättning av värden. Medianvärdet är alltså 40 km och talar om för oss att Mikael gick ungefär 40 km varje dag, vilket om vi ser till mätvärdena kan anses ge en bild som bättre representerar helheten.


Ibland när man ordnar värden i storleksordning, händer det att det inte finns något värde som hamnar alldeles på den mittersta platsen. Det här kommer att ske varje gång vi har en uppsättning värden med ett jämnt antal värden.


Det gäller till exempel följande uppsättning värden

$$2,\: 2,\: 4,\: 5,\: 6,\: 7,\: 7,\: 8$$

I sådana fall, tar man de två mittersta värdena och beräknar medelvärdet av dem för att få medianvärdet. I exemplet ovan är dessa värden 5 och 6, vilket ger oss medianen enligt följande:

$$median=\frac{5+6}{2}=5,5$$


Typvärde

Att ange ett typvärde är ett annat sätt att beskriva en uppsättning värden och definieras som det värde som förekommer flest antal gånger i uppsättningen av värden.

Om vi återvänder till exemplet med Mikaels fjällvandring, så kan vi få fram ett typvärde för hur långt han gick under dessa dagar. Vi sorterar först värdena i storleksordning så att de värden som är likadana hamnar bredvid varandra:

$$5,\: 38,\: 40,\: 41,\: 41$$

Vi kan nu se att 41 finns med två gånger i uppsättningen av värden, till skillnad från de övriga värdena som bara finns med en gång var. Det ger oss typvärdet 41, som säger att den vanligast förekommande sträckan som Mikael vandrade per dag var 41 km.

Variationsbredd

Variationsbredd (Vb) är ytterligare ett mått som kan ge oss indirekt information om en uppsättning värden. Variationsbredden definieras som differensen mellan det största och det minsta värdet i uppsättningen av värden. Är variationsbredden stor för en uppsättning värden, då är risken större än annars att medelvärdet kan vara missvisande, eftersom värdena är utspridda över ett stort intervall. Vad som kan anses vara en stor variationsbredd beror dock på sammanhanget.


Vi tittar på ett exempel

I det senaste valet till Sveriges riksdag var den yngsta personen som röstade 18 år och den äldsta personen var 104 år. Det minsta värdet är därmed 18 år och det största värdet är 104 år.

Detta ger oss följande variationsbredd vad gäller åldern för dem som röstade i valet:

$$Vb=104-18=86$$

Det skiljde alltså 86 år mellan den äldsta och den yngsta personens ålder.


Videolektioner

Här går vi igenom de tre lägesmåtten medelvärde, median och typvärde.

Här går vi igenom tre olika uppgifter för att finna medelvärdet, medianen eller typvärdet.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Medelvärde, median, typvärde och variationsbredd? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!