Aritmetiska talföljder

En talföljd är, som man kanske kan gissa, en följd av tal. Oftast följer den ett speciellt mönster, en formel.

En aritmetisk talföljd är en speciell sorts talföljd, där skillnaden, differensen, mellan varje tal är konstant. Heltalen kan ses som en aritmetisk talföljd där skillnaden är ett. En annan aritmetisk talföljd är

$\\5,\ 10,\ 15,\ 20,...\\$

där differensen är 5.

$\\5,\ 5+5=10,\ 10+5=15,\ 15+5=20,...\\$

För att beskriva en aritmetisk talföljd kan vi införa beteckningarna a₁ som är det första talet i serien och d som är differensen. En allmän aritmetisk talföljd kan då skrivas så här:

$\\ a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ a_{1}+3d,...\\$

Om vi har att a₁ = 3 och d = 5 får vi talföljden

$\\3,\ 3+5,\ 3+2\cdot 5,\ 3+3\cdot 5,...=3,\ 8,\ 13,\ 18,...\\$

Från den allmänna formen för en aritmetisk talföljd får vi en formel för vad ett visst tal i talföljden är

$\\a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\\$

Där a_n är det tal i talföljden vi vill ta reda på. Om vi till exempel vill veta vad det femte talet är i en talföljd där a₁ = 3 och d = 5 får vi:

$\\a_{5}=3+(5-1)\cdot 5=3+4\cdot 5=3+20=23\\$

Aritmetisk summa

Det sägs att när den kände matematikern Carl Friedrich Gauss gick i skolan, så fick hela hans klass uppgiften att beräkna summan av de 100 första naturliga talen. Alla började ivrigt addera 1 + 2 =3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10 och så vidare, precis som de tidigare hade lärt sig, men inte Gauss.Gauss upptäckte att om man la ihop det första och sista talet i talföljden (dvs 1 och 100) så fick man 101. La man till det näst första och näst sista talet (2 + 99 = 101) fick man också 101 och att om man delade upp alla talen i talföljden på detta sätt fick 50 par som alla blir 101. Sedan var det bara att multiplicera 50 med 101 för att få veta vad summan av alla talen blev

$\\50 \cdot 101=5050$

Han lämnade därför in svaret först, redan efter någon minut, men för hans klasskamrater tog det längre tid. När lektionen var över visade det sig att endast Gauss hade fått fram rätt svar. Här berättar Fredrik Wikingsson lite mer om Gauss

Metoden som Gauss använde för att lösa uppgiften kan ses som en tillämpning på formeln för att räkna ut summan av en aritmetisk talföljd som vi ser här nedanför.

$\\S_{n}=\frac{n\cdot (a_{1}+a_{n})}{2}\\$

Där S_n är summan av de n första talen i talföljden, a₁ är talföljdens första tal och a_n det n:te talet i talföljden.

Om vi då vill räkna ut vad summan av de 100 första naturliga talen så får vi att

a₁ = 1, a_n = 100 och n = 100

$\\S_{100}=\frac{100\cdot (1+100)}{2}=\frac{100\cdot 101}{2}=5050\\$