Aritmetiska talföljder

En talföljd är, som man kanske kan gissa, en följd av tal. Ofta följer talföljder ett speciellt mönster, en formel, snarare än att den är helt oförutsägbar.

Aritmetisk talföljd

En aritmetisk talföljd är en speciell sorts talföljd, där skillnaden, differensen, mellan varje par av efterföljande tal är konstant.

De naturliga talen, \(\mathbb{N}\), kan ses som en aritmetisk talföljd, där differensen är ett:

$$ 0,\; 1,\; 2,\; 3,\; ...$$

Ett annat exempel på en aritmetisk talföljd är

$$\\5,\ 10,\ 15,\ 20,...\\$$

där differensen är 5.

$$\\5,\ 5+5=10,\ 10+5=15,\ 15+5=20,...\\$$

För att beskriva en aritmetisk talföljd kan vi införa beteckningarna a1, som är det första talet i talföljden, och d, som är differensen.

En allmän aritmetisk talföljd kan då skrivas så här:

$$\\ a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ a_{1}+3d,...\\$$

Om vi vet att a1 = 3 och d = 5, får vi talföljden

$$\\3,\; 3+5,\; 3+2\cdot 5,\; 3+3\cdot 5,\;...=3,\; 8,\;13,\;18,\;... $$

Från den allmänna formen för en aritmetisk talföljd får vi en formel för vad ett visst tal i talföljden är

$$ \\a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d\\$$

där an är det tal i talföljden vi vill ta reda på, det n:te talet. Om vi till exempel vill veta vad det femte talet \((n=5)\) i en talföljd är, där a1 = 3 och d = 5, får vi enligt formeln:

$$\\a_{5}=3+(5-1)\cdot 5=3+4\cdot 5=3+20=23\\$$

Aritmetisk summa

Det sägs att när den berömde matematikern Carl Friedrich Gauss gick i skolan, fick hela hans klass uppgiften att beräkna summan av de 100 första naturliga talen. Eleverna började ivrigt addera 1 + 2 =3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, och så vidare, precis som de tidigare hade lärt sig, men inte Gauss. Gauss upptäckte att om man la ihop det första och sista talet i talföljden, det vill säga talen 1 och 100, så fick man summan 101. La man ihop de näst första och näst sista talen (2 och 99), så fick man också 101. Om man delade upp alla talen i talföljden på detta sätt, så fick man 50 par av tal vars summa blir 101. Sedan var det bara att multiplicera 50 med 101 för att få veta vad summan av alla talen 1 till 100 blev:

$$\\50 \cdot 101=5050$$

Han lämnade därför in svaret först, redan efter någon minut, men för hans klasskamrater tog det längre tid. När lektionen var över visade det sig att endast Gauss hade fått fram rätt svar. Här berättar Fredrik Wikingsson lite mer om Gauss.

Metoden som Gauss påstås ha använt för att lösa uppgiften kan ses som en tillämpning av formeln för att räkna ut summan av en aritmetisk talföljd som vi ser här nedanför:

$$\\S_{n}=\frac{n\cdot (a_{1}+a_{n})}{2}\\$$

där Sn är summan av de n första talen i talföljden, a1 är talföljdens första tal, och an är det n:te talet i talföljden.

Om vi vill räkna ut vad summan av de 100 första naturliga talen är, så får vi att a1 = 1, a100 = 100, och n = 100, vilket ger

$$\\S_{100}=\frac{100\cdot (1+100)}{2}=\frac{100\cdot 101}{2}=5050\\$$

Som väntat fick vi samma svar som Gauss!

Videolektion

Här tar vi reda på vad summan är av ett antal tal i en aritmatisk talföljd.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Aritmetiska talföljder? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!