Geometriska talföljder

I det förra avsnittet lärde vi oss om aritmetiska talföljder, vilket är talföljder där differensen mellan varje par av efterföljande tal är konstant. Men det finns även andra intressanta talföljder och i detta avsnitt ska vi därför lära oss om vad som kallas geometriska talföljder.

Geometrisk talföljd

Vi har en talföljd, ifall vi dividerar ett tal i talföljden med det föregående talet i talföljden och vi alltid får samma kvot, då kallar vi den typen av talföljd för en geometrisk talföljd.

Ett exempel på geometrisk talföljd är följande:

$$2, \ 6, \ 18, \ 54...$$

eftersom

$$\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3$$

Vi ser att kvoten är konstant, i det här fallet lika med 3.

För att beskriva en geometrisk talföljd inför vi beteckningarna a1, som är det första talet i talföljden, och k, som är kvoten i talföljden.

En allmän geometrisk talföljd kan då skrivas så här:

$$a_{1},\; a_{1}\cdot k,\; a_{1}\cdot k \cdot k,\; a_{1}\cdot k \cdot k \cdot k,\dots = a_{1},\; a_{1}\cdot k,\; a_{1}\cdot k^2,\; a_{1}\cdot k^3,\dots$$

Om vi vet att a1=1 och k=3, får vi talföljden

$$1,\; 1\cdot 3,\; 1 \cdot 3^2,\; 1 \cdot 3^3,\dots = 1,\;3,\;9,\;27,\dots$$

På samma sätt som med aritmetiska talföljder finns det en formel för att räkna ut ett specifikt tal i en geometrisk talföljd:

$$a_{n}=a_{1}\cdot k^{n-1}$$

där an är det n:te talet i talföljden, a1 är det första talet i talföljden, och k är kvoten mellan ett tal i talföljden och det föregående talet i talföljden.

Nu kan vi till exempel räkna ut vilket det femte talet i talföljden ovan är. Vi vet att kvoten k = 3 och att a1 = {det första talet i talföljden} = 1. Det ger oss enligt formeln följande:

$$a_{5}=1\cdot 3^{5-1}=1\cdot 3^{4}=81$$

Geometrisk summa

Man kan, i likhet med hur vi gjorde med aritmetiska talföljder, räkna ut summan av alla tal som ingår i en geometrisk talföljd. Vad vi får då kallar vi en geometrisk summa.

Vi ska använda oss av talföljden 2, 6, 18, 54..., för att härleda ett uttryck för en geometrisk summa. För att få fram summan av de fyra första talen i talföljden så börjar vi med att summera de fyra givna elementen:

$$S_{4}=\sum_{n=1}^{4} a_{1}\cdot k^{(n-1)}=2\cdot 3^{0}+2\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}$$

där S4 står för summan av de 4 första talen och tecknet \(\sum\) är ett enklare och mera kompakt sätt att skriva ihop de talen vi vill summera. Efter det multiplicerar vi både VL och HL med kvoten, k:

$$S_{4}\cdot 3=2\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{4}$$

Sedan, subtrahera S4 i både VL och HL:

$$\begin{align} 3\cdot {S}_{4}-{S}_{4} =& (2\cdot {3}^{1}+2\cdot {3}^{2}+2\cdot{3}^{3}+2\cdot{3}^{4}) \\ & -(2\cdot{3}^{0}+2\cdot{3}^{1}+2\cdot{3}^{2}+2\cdot{3}^{3})\end{align}$$

$$3{S}_{{}_{4}}-{S}_{{}_{4}}=2\cdot{3}^{{}^{4}}-2\cdot{3}^{{}^{0}}$$

$${S}_{{}_{4}}\cdot (3-1)=2\cdot ({3}^{{}^{4}}-1) $$

$${S}_{{}_{4}}=\frac{2\cdot ({3}^{{}^{4}}-1)}{3-1}=80 $$

Den allmänna formeln för en geometrisk summa är

$${S}_{n}=\frac{{a}_{1}\cdot ({k}^{n}-1)}{k-1}$$

där Sn är summan av de n första talen i talföljden, a1 är det första talet i talföljden, och k är kvoten mellan ett tal i talföljden och det föregående talet i talföljden (k ≠ 1).

Om k = 1 innebär det att alla elementen i talföljden är likadana. I detta fall beräknas summan av elementen istället med formeln

$${S}_{n}={a}_{1}\cdot n$$

Summan av elementen är i detta fall helt enkelt det första elementet multiplicerat med antalet element.

Längre fram i kursen kommer vi att stöta på en vanlig praktisk tillämpning av geometriska summor, nämligen i avsnittet om ränta.

Videolektion

Här tar vi reda på vad summan är av ett antal tal i en geometrisk talföljd.

Har du en fråga du vill ställa om Geometriska talföljder? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!