Geometriska talföljder

I kapitlet innan talade vi om aritmetiska talföljder där differensen mellan varje tal i talföljden var konstant.

Om man istället har en talföljd där om man dividerar ett tal i talföljden med talet innan i serien och alltid får samma kvot, kallas den typen av talföljd för en geometrisk talföljd. Ett exempel på sådan serie är följande:

$2, \ 6, \ 18, \ 54...$

$\\\frac{6}{2}=\frac{18}{6}=\frac{54}{18}=3\\$

Kvoten är konstant - den är i det här fallet alltid 3. Kvoten i en geometrisk talföljd betecknas k. Det finns en formel för att räkna ut ett specifikt tal i en geometrisk talföljd:

$\\a_{n}=a_{1}\cdot k^{n-1}\\$

Vi kan till exempel räkna ut vilket det femte talet i talföljden ovan är. Vi vet att kvoten k = 3 och att a₁ = det första talet i serien = 2. Det ger oss:

$\\a_{5}=2\cdot 3^{5-1}=2\cdot 3^{4}=162\\$

Man kan precis som med en aritmetisk talföljd räkna ut summan av alla tal i en geometrisk talföljd.Vi ska använda oss av talföljden ovan för att härleda ett uttryck för en geometrisk summa. För att få fram summan av de fyra första talen i talföljden 2, 6, 18, 54... så börjar vi med att summera ihop de fyra givna elementen:

$\\s_{4}=\sum a_{1}\cdot k^{(n-1)}=2\cdot 3^{0}+2\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}\\$

Multiplicera med kvoten, k:

$\\ s_{4}\cdot 3=2\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{4}$

Subtrahera s₄ i både VL och HL:

$\\3s_{4}-s_{4}=(2\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{4})-(2\cdot 3^{0}+2\cdot 3^{1}\\+2\cdot 3^{2}+2\cdot 3^{3})\\\\ 3s_{4}-s_{4}=2\cdot 3^{4}-2\cdot 3^{0}\\\\ s_{4}(3-1)=2(3^{2}-1)\\\\ s_{4}=\frac{2(3^{4}-1)}{3-1}=80$

Den allmänna lösningen blir:

$\\S_{n}=\frac{a_{1}(k^{n}-1)}{k-1}$

Om talen i serien blir mindre och mindre, så kommer k bli mindre än 1. Om k < 1 så används istället formeln

$\\S_{n}=\frac{a_{1}(1-k^{n})}{1-k}$

(Denna formel kan härledas på precis samma sätt som den första formeln.)