Överslagsräkning

I vardagslivet kan det ibland vara svårt att beräkna exakta värden. Om du till exempel är i affären och vill veta hur mycket korgen med varor sammanlagt kommer att kosta, då är det krångligt att hålla reda på alla kronor och ören. I sådana fall kan det vara bättre att göra en överslagsräkning för att få fram ett ungefärligt svar på vad det kommer att kosta. Så att man inte får en chock när man kommer fram till kassan.

I det här avsnittet kommer vi därför att gå igenom hur man använder överslagsräkning och vad man bör tänka på vid sådana beräkningar.

Addition och subtraktion

Vid addition och subtraktion avrundar vi värdena till närmaste tiopotens. Om vi har summan

$$42+36+78$$

kan vi avrunda termerna till närmaste tiotal och få

$$40+40+80=160$$

Hade vi räknat ut summan exakt så hade vi fått

$$42+36+78=156$$

Vi ser att våra avrundningar har gett ett resultat som är ganska nära det exakta svaret. Om det var tillräckligt nära beror på situationen - står du i kassakön i en livsmedelsbutik, då räcker troligtvis svarets noggrannhet.

Vid avrundning avrundar man alltid till en bestämd tiopotens. Det kan vara tiotal, som i exemplet ovan, eller hundratal, tusental, tiondelar, hundradelar, osv.

Om vi tar talet 42 i det ovanståendet exemplet, så undersöker vi den sista siffran (i det här fallet 2:an) som vi kallar avrundningssiffra och det är den siffran som bestämmer om vi ska avrunda uppåt eller neråt. Om avrundningssiffran är 5 eller högre, så avrundar man uppåt, och är den 4 eller lägre, så avrundar man neråt.

Multiplikation

Vid multiplikation gäller detsamma som för addition och subtraktion, sett till hur vi avrundar. Här är det dock viktigt att vi är medvetna om vilket håll vi avrundar talen till och hur mycket talen avrundas, då faktorernas avrundning kan ha en stor påverkan på produktens storlek.

Om vi exempelvis har produkten

$$3,4\cdot 44$$

Enligt avrundningsiffran (i båda faktorerna är avrundningssiffran 4) ska båda faktorerna avrundas nedåt. Vid avrundning får vi därför

$$3,4\cdot 44\approx 3\cdot 40=120$$

Eftersom vi avrundade nedåt är det viktigt att komma ihåg att produkten är en underskattning. Hur stor underskattningen är beror på hur mycket talen avrundades nedåt. I detta fall avrundades den högra faktorn relativt mycket (4 ental nedåt) och det har en stor påverkan på produkten.

Vad skulle hända om vi avrundade båda talen uppåt? Vi testar, trots att detta inte är rätt enligt avrundningsreglerna.

$$3,4\cdot 44\approx4\cdot 50=200$$

Denna produkt är nu istället en överskattning och jämför vi det med produkten innan ser vi att de skiljer sig åt med 80.

Hur bra uppskattningar var detta då? Vi räknar ut den exakta produkten och jämför.

$$3,4\cdot 44=149,6$$

Överslagsberäkningarna var en bit ifrån det rätta svaret. Det viktiga är därför att vara medveten om hur mycket talen avrundas och åt vilket håll. Detta för att avgöra storleken på underskattningen respektive överskattningen.

Division

Vid division gäller samma som för multiplikation, addition och subtraktion, sett till hur vi avrundar. Här är det dock viktigt att vi avrundar båda talen åt samma håll. Om talen avrundas åt två olika håll kommer det ha större påverkan på kvoten och öka osäkerheten på svaret.

Gällande siffror (Värdesiffror)

I avsnittsdelarna här ovan har vi avrundat tal för att lättare kunna handskas med dem. Att de tal man använder vid beräkningar är avrundade är mycket vanligt, särskilt om talen uppkommit genom någon typ av mätning. Frågan är hur exakta de tal man använder egentligen är, vilket gällande siffror svarar på.


Om Anton säger att han har 500 meter till mataffären, betyder det då att det är exakt 500 m dit?

Antagligen är det avrundat och om vi skulle ta ett (väldigt långt) måttband och mäta avståndet mellan Antons hem och mataffären, så skulle vi kanske få det till 537 m.

Det här betyder inte att Anton talar osanning om avståndet till affären. Han har troligen bara avrundat avståndet till hela hundratal. När Anton säger att det är 500 m till affären, så talar det om för oss att affären kan ligga någonstans mellan 450 m och 550 m bort (vilket den ju gör).

Man brukar tala om en inbyggd osäkerhet i alla mätningar. Hur exakt du än mäter någonting så finns det alltid en risk för att du inte har fått värdet exakt rätt. Måttbandet kan ha hamnat lite snett eller så tryckte du kanske inte på tidtagaruret precis samtidigt som din kompis började springa 100 m på löparbanan.

För att tala om hur stor osäkerhet det finns i en mätning brukar man tala om gällande siffror. Lite förenklat kan man säga att ju fler siffror man tar med, desto mer exakt förutsätts värdet vara. Säger Anton att det är 500 m (en gällande siffra) till affären, betyder det som sagt att sträckan är någonstans mellan 450 och 550 m lång, men om vi säger att det är 537 m (tre gällande siffror), som vi mätte upp med måttbandet, betyder det att sträckan är någonstans mellan 536,5 och 537,5m lång, vilket är ett mycket mer exakt värde.


Regler för gällande siffror

Regel Exempel
1-9 är alltid gällande. 42,85 har fyra gällande siffror.
0 är gällande inuti ett tal. 42,0085 har sex gällande siffror.
0 är gällande som sista decimal. 42,850 har fem gällande siffror.
0 är inte gällande i början av ett decimaltal. 0,004285 har fyra gällande siffror.
0 kan vara gällande i slutet av ett tal. 42000 kan ha två, tre, fyra eller fem gällande siffror.

Ett sätt att markera antalet gällande siffror är att skriva talet i grundpotensform, som vi lärde oss om i det förra avsnittet. Alla siffror i faktorn före tiopotensen är gällande.

$$4,52\cdot 10^{5}$$

har därför tre gällande siffror och

$$4,520\cdot 10^{5}$$

har fyra gällande siffror.

Vill man vara tydlig med antalet gällande siffror i ett tal, då är det alltså en god idé att skriva talet på grundpotensform.

Om vi tittar tillbaka på vårt exempel med Antons avstånd till mataffären, så skulle han alltså kunna ge sitt svar på grundpotensform och därigenom ge ytterligare information om hur exakt hans svar är (talet 500 kan ju, som vi såg ovan, ha en, två eller tre gällande siffror, eftersom nollor i slutet av ett tal utan decimalsiffror kan vara gällande). Dock finns det en risk att Anton därigenom överskattar hur viktigt det i just den här situationen är att markera hur många gällande siffror hans svar har - antagligen duger det alldeles utmärkt att ange avståndet till affären med en gällande siffra, som 500 m.

Räkna med närmevärden och gällande siffror

När vi räknar med avrundade tal (närmevärden) gäller det att hålla koll på hur många gällande siffror talen har. Det skiljer sig på två olika sätt mellan räknesätten:

Vid addition och subtraktion av närmevärden gäller det att närmevärdet med minst antal decimaler bestämmer hur många decimaler svaret ska ha. Exempelvis:

$$7,25+8,3 \approx 15,6$$

Här ser vi att första termen har två decimaler och andra termen har en decimal. Det är alltså andra termen som avgör hur många decimaler svaret ska ha, nämligen en decimal.

Vid multiplikation och division av närmevärden gäller det att närmevärdet med minst antal gällande siffror avgör hur många gällande siffror svaret har. Exempelvis:

$$4,28 \cdot 8,0 \approx 34$$

Här ser vi att den första faktorn har tre gällande siffror och den andra faktorn har två gällande siffror. Det är alltså den andra faktorn som avgör hur många gällande siffror svaret ska ha, nämligen två gällande siffror.

Videolektion

Vi utför överslagsräkning i affären för att ta reda på ungefär hur mycket vi behöver betala i kassan.

Har du en fråga du vill ställa om Överslagsräkning? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!