Potenser

Istället för att repetera och skriva samma matematiska operationer flera gånger om så finns det genväger. På ett sätt kan man se multiplikation som en genväg till upprepad addition.

$\\5+5+5+5\\$

kan vi ju istället skriva som

$\\5\cdot 4\\$

Det finns en liknande genväg när det gäller multiplikation.

$\\5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 5^{4}\\$

5⁴ utläses som "fem upphöjt i fyra" och betyder just fem gånger sig själv 4 gånger. Ett tal skrivet på den här formen kallas för potens. 5:an kallas för bas och 4:an för exponent.

$\\bas^{exponent}=produkt\\$

Det finns ett gäng potensregler som är bra att komma ihåg och som talar om för oss hur vi ska räkna med potenser.

Regeln för multiplikation av potenser med samma bas

$\\5^{2}\cdot 5^{4}=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^{6}\\$

Detta kan också skrivas

$\\5^{2}\cdot 5^{4}=5^{2+4}=5^{6}\\$

och allmänt som

$\\a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}\\$

I ord säger vi att vid multiplikation adderas exponenterna om potenserna har gemensam bas.

Regeln för division av potenser med samma bas

$\\\frac{3^{6}}{3^{3}}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3}=\frac{3\cdot 3\cdot 3}{1}=3^{3}\\$

Man kan också skriva det

$\\\frac{3^{6}}{3^{3}}=3^{6-3}=3^{3}\\$

och allmänt som

$\\\frac{a^{b}}{a^{c}}=a^{b-c}\\$

I ord säger vi att vid division subtraheras exponenterna om potenserna har gemensam bas.

Regeln för potenser av potenser

$\\(11^{3})^{4}=11^{3}\cdot 11^{3}\cdot 11^{3}\cdot 11^{3}\\$

vilket enligt lagen om multiplikation av potenser med gemensam bas blir

$\\11^{3}\cdot 11^{3}\cdot 11^{3}\cdot 11^{3}=11^{(3\cdot3\cdot3\cdot3)}=11^{12}\\$

Vi vet att

$\\12=3\cdot 4\\$

Därför gäller

$\\(11^{3})^{4}=11^{3\cdot 4}=11^{12}\\$

Allmänt blir detta

$\\(a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}\\$

Regeln för potens av en produkt

Antag att vi har potensen

$\\\left ( 5x \right )^{2}\\$

Hur gör man då? Eftersom både 5:an och x:et är upphöjt i 2 kan vi istället skriva det som

$\\\left ( 5x \right )^{2}=5^{2}\cdot x^{2}=25x^{2}\\$

Allmänt gäller att

$\\\left ( a\cdot b \right )^{c}=a^{c}\cdot b^{c}\\$

Negativa exponenter

Om vi har bråket

$\\\frac{4^{2}}{4^{4}}\\$

Och vill förenkla det får vi genom potensregeln för division att

$\\\frac{4^{2}}{4^{4}}=4^{2-4}=4^{-2}\\$

Vi kan även se det som

$\\\frac{4^{2}}{4^{4}}=\frac{4\cdot 4}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{4^{2}}$

Vilket innebär att

$\\4^{-2}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{4^{2}}\\$

Eller allmänt

$\\a^{-b}=\frac{1}{a^{b}}\\$

Exponenten noll

Vi vet att

$\\\frac{5^{3}}{5^{3}}=5^{3-3}=5^0\\$

Men vi vet också att

$\\\frac{5^{3}}{5^{3}}=1\\$

Alltså måste det innebära att

$\\5^{0}=1\\$

Allmänt blir detta

$\\a^{0}=1\\$

och med ord att om exponenten är noll är resultatet ett och detta gäller så länge a ≠ 0.