Potenser

Potenser kallas allmänt när man räknar för “upphöjt till“. Potenser och potenslagarna är mycket användbara sätt att uttrycka matematik som annars skulle bli mycket besvärlig att läsa och skriva. Man kan säga att potenser är för multiplikationen, vad multiplikationen är för additionen. Det vill säga, multiplikation kan ses som upprepad addition, och på samma sätt kan potensräkning ses som en förkortning för upprepad multiplikation. I fysiken förekommer det ofta på grund av att det är extrema storleksskillnader mellan volymen på ett äpple och en planet. I matematiken brukar vi inte blanda äpplen och planeter, men vi behöver ändå ofta räkna med stora tal, och stora multiplikationer, vilket snabbt blir mycket otympligt om man inte behärskar potensräkning.

Tidigare har vi som hastigast stött på begreppet potenser, då vi lärde oss om räkneordning. I det här avsnittet ska vi gå igenom begreppet potenser och de räknelagar som vi använder när vi räknar med potenser.

Potens, bas och exponent

Ibland kan man ha matematiska uttryck där man upprepar samma matematiska räkneoperationer flera gånger om. I sådana lägen kan det vara bra att kunna skriva detta på ett mer kompakt sätt, samtidigt som betydelsen av uttryck bevaras.

Till exempel kan man se multiplikation som ett mer kompakt sätt att uttrycka upprepad addition.

$$5+5+5+5$$

kan vi ju istället skriva som

$$5\cdot 4$$

vilket är enklare.

Det finns en liknande genväg när det gäller multiplikation:

$$5\cdot 5\cdot 5\cdot 5$$

kan vi istället skriva som

$$5^4$$

vilket utläses som "fem upphöjt till fyra" och betyder just talet \(5\) gånger sig självt fyra gånger. På datorer och miniräknare används tecknet ^ för att representera potenser: \(5\)^\(4\).

Ett tal skrivet på den här formen kallas för en potens. I uttrycket \(5^4\) kallas siffran \(5\) för bas och siffran \(4\) för exponent.

$$bas^{exponent}=potens$$

Det finns ett antal potenslagar som är bra att komma ihåg och som talar om för oss hur vi ska räkna med potenser. 

Multiplikation av potenser med samma bas

Om vi har två potenser med samma bas och ska multiplicera dessa potenser, då kan vi skriva det som i följande exempel:

$$ \\ {5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5\cdot 5\cdot 5)=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5={5}^{{}^{6}}$$

Detta kan också skrivas

$${5}^{{}^{2}}\cdot {5}^{{}^{4}}={5}^{{}^{2+4}}={5}^{{}^{6}}$$

Eftersom för något tal, som vi kallar a, gäller alltså att

$$a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^6$$

Vilket uttrycks allmänt som

$$ a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$$

I ord säger vi att vid multiplikation av potenser adderas exponenterna om potenserna har gemensam bas.

Division av potenser med samma bas

På motsvarande sätt som vid multiplikation av potenser med samma bas, kan man skriva en division av två potenser med samma bas som i följande exempel:

$$\frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}=\frac{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}{3\cdot 3\cdot 3}=\frac{3\cdot 3\cdot 3}{1}={3}^{{}^{3}} $$

Man kan också skriva detta som

$$ \frac{{3}^{{}^{6}}}{{3}^{{}^{3}}}={3}^{{}^{6-3}}={3}^{{}^{3}} $$

och allmänt som

$$ \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$$

$$\text{där}\;a \neq 0 $$

I ord säger vi att vid division av potenser subtraheras exponenterna om potenserna har gemensam bas.

Potens av en potens

Har vi ett potensuttryck och ska beräkna potensen av det, då får vi en uppställning som kan se ut som i det här exemplet:

$$ (11^3)^4=11^3\cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3$$

Om vi tillämpar regeln om multiplikation av potenser med samma bas, som vi kom fram till tidigare i det här avsnittet, upprepade gånger, då får vi

$$ 11^3 \cdot 11^3\cdot 11^3\cdot 11^3=11^{3+3+3+3}=11^{12}$$

Vi vet att

$$3+3+3+3=3\cdot4=12$$

Därför gäller

$$ (11^3)^4=11^{3\cdot \, 4}=11^{12} $$

Allmänt blir detta

$$ (a^x)^y = a^{x \cdot \, y}$$

Potens av en produkt

Vi kan också ha potensuttryck som har mer komplicerade baser. Anta till exempel att basen utgörs av en produkt, så här

$$(5x)^2$$

där \(x\) är något okänt tal.

Hur gör man då?

Eftersom både \(5\):an och \(x\):et är upphöjt till \(2\) kan vi istället skriva uttrycket som

$$(5x)^2=(5x)\cdot(5x)=5^2\cdot x^2=25x^2$$

Allmänt gäller att

$${(a\cdot b)}^{x}={a}^{x}\cdot {b}^{x}$$

Potens av en kvot

På ett liknande sätt som i fallet ovan, där basen i en potens utgjordes av en produkt, kan man beräkna en potens av en kvot. I dessa fall kan vi ha ett potensuttryck liknande följande exempel:

$$\left ( \frac{2x}{3} \right ) ^3$$

Här utgörs potensens bas av kvoten \(\frac{2x}{3}\), medan potensens exponent är lika med 3.

Denna potens kan vi, med hjälp av regeln för multiplikation av bråktal, skriva om som

$$\left ( \frac{2x}{3} \right )^3= \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3 \cdot \frac{2x}3= \frac{(2x)^3}{3^3}$$

Vi kan fortsätta att förenkla uttrycket, men nöjer oss så här och konstaterar att vi kan skriva om en potens av en kvot enligt följande generella lag (så länge \(b ≠ 0\)):

$$\left ( \frac{a}{b} \right )^x=\frac{a^x}{b^x}$$

Potenser med negativa exponenter

Om vi har bråket

$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}$$

och vill förenkla det, får vi genom regeln för division av potenser med gemensam bas att

$$ \frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}={4}^{{}^{2-4}}={4}^{{}^{-2}}$$

Vi kan även se det som

$$\frac{{4}^{{}^{2}}}{{4}^{{}^{4}}}=\frac{4\cdot 4}{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$

Det här innebär att följande samband gäller:

$${4}^{{}^{-2}}=\frac{1}{4\cdot 4}=\frac{1}{{4}^{{}^{2}}} $$

I det allmänna fallet kan vi skriva detta som

$$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$$

där \(a ≠ 0\).

Potenser med exponenten noll

Vi vet att

$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}={5}^{{}^{3-3}}={5}^{{}^{0}} $$

Men vi vet också att

$$ \frac{{5}^{{}^{3}}}{{5}^{{}^{3}}}=1$$

Alltså måste detta innebära att

$$ {5}^{{}^{0}}=1$$

Allmänt blir detta

$$ {a}^{0}=1$$

$$a\neq 0$$

och med ord att om exponenten är noll är potensen lika med \(1\). 

Potenslagar

Nu har vi gått igenom ett antal generella regler som gäller då vi räknar med potenser, vad vi kallar potenslagarna.

Låt oss sammanfatta vad vi kommit fram till hittills:

Räkneordning med potenser

Som vi nämnde i början av det här kapitlet, påverkas räkneordningen av om ett uttryck innehåller potenser.

Prioriteringsreglerna (räkneordningen) med potenser inkluderade, lyder nu:

1. Parenteser
2. Potenser
3. Multiplikation och division
4. Addition och subtraktion

Har vi till exempel följande uttryck

$$2 \cdot (3-2^3)+\frac{4}{2}$$

så beräknar vi först uttrycket inom parentesen, sedan potenser, därefter multiplikation och division, och sist addition och subtraktion.

Att beräkna en parentes innebär att vi tillämpar räkneordningen på parentesuttrycket separat:

$$(3-2^3)=(3-8)=(-5)$$

När vi nu är klara med att beräkna uttrycket inom parentesen, ser vi att det återstående uttrycket inte innehåller några fler parenteser och inte heller några potenser, så vi tar oss an multiplikation och division härnäst:

$$2\cdot (-5) +\frac{4}{2}=(-10)+2$$

I sista steget genomför vi den återstående additionen och får

$$-10+2=-8$$