Primtal

Alla positiva heltal kan skrivas som en produkt av 1 och sig själv. Exempelvis är

$\\42=1\cdot 42\\$

Detta är detsamma som det multipikativa neutrala elementet från heltalens egenskaper. Talet 42 kan också delas in i faktorer som

$\\42=2\cdot 21\\$

och

$\\42=2\cdot 3\cdot 7\\$

Talen 2, 3 och 7 kan dock inte delas in i fler faktorer. Heltal som inte kan faktoriseras och därför inte är delbara med något annat än sig själv och 1 kallas för primtal. Ett primtal får heller inte vara delbart med -1 eller minus sig självt.

Ett primtal är definierat som ett tal p större än 1 (p>1) sådant att det endast kan faktoriseras som

$\\p=1\cdot p\\$

De fem första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11. Tal som inte är primtal kallas sammansatta tal eftersom de består av minst två primtal.

Eratosthenes såll

Eratosthenes var en grekisk vetenskapsman som levde 276-194 f.Kr. Han var föreståndare för biblioteket i Alexandria och uppfann bland annat en metod för att beräkna jordens storlek. Det han är mest känd för är en metod för att bestämma vilka tal som är primtal.

Metoden kallas för Eratothenes såll och går ut på att först skriva upp en lista på alla naturliga tal större än 1 och sedan stryka varje multipel av ett tal (exempelvis alla tal som är en multipel av 2 ex. 2x2=4) och sedan stryka varje multipel av nästa tal som blev kvar (exempelvis alla som är en multipel av 3), och på det sättet fortsätta tills det inte går att stryka fler. De tal som då är kvar är primtal.

Minsta gemensamma multipel (MGM)

Med multipel av ett tal a menas att tal

$\\a\cdot k\\$

där k är ett heltal. Om talet a = 3 är dess första positiva multiplar 3 (3 ∙ 1), 6 (3 ∙ 2), 9 (3 ∙ 3) och 12 (3 ∙ 4). Multiplarna till talet a är alltså talet a:s multiplikationstabell.

Det går också att hitta en multipel av två eller flera tal. Talen 2 och 3 har de gemensamma multiplarna är 6 (3 ∙ 2), 12 (3 ∙ 2 ∙ 2), 18 (3 ∙ 2 ∙ 3) och så vidare. Det första talet i listan, 6, kallas för den minsta gemensamma multipeln (MGM) till 2 och 3.

Med 2 och 3 var det relativt enkelt att hitta MGM, men hur gör man om till exempel har talen 42 och 48? En multipel av 42 och 48 är produkten av de båda talen.

$\\42\cdot 48=2016\\$

Är du osäker och måste hitta en multipel för att till exempel få två bråk på samma nämnare fungerar det alltid att bara multiplicera nämnarna med varandra. Dock är den inte nödvändigtvis den minsta och snyggaste. Med hjälp av primtalen kan vi snygga till multipleln. Om vi primtalsfaktoriserar talen får vi

$\\42={\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}\cdot 7\\$

och

$\\48=2\cdot 2\cdot2\cdot{\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}\\$

Vi kan se att bägge talen har 2 och 3 (markerade i rött) som gemensamma multiplat. Den minsta gemensamma multipeln blir då det tal, vars primtalsfaktorisering innehåller alla gemensamma multiplar (som bara behöver vara med en gång) tillsammans med alla icke-gemensamma multiplar.

$\\MGM(42,\ 48)={\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}\cdot 7\cdot 2\cdot 2\cdot 2=336\\$