Primtal

Alla positiva heltal kan skrivas om som en produkt av 1 och talet självt. Exempelvis kan vi skriva om talet 42 som

$$42=1\cdot 42$$

Detta är detsamma som det multiplikativa neutrala elementet, som vi känner igen från vår genomgång av heltalens egenskaper.

Talet 42 kan också delas in i heltalsfaktorer som

$$42=2\cdot 21$$

och

$$42=2\cdot 3\cdot 7$$

Talen 2, 3 och 7 kan dock inte delas in i fler heltalsfaktorer. De kallas primtal och i detta avsnitt ska vi undersöka dessa tal närmare.

Primtal

Ett primtal p är ett heltal större än 1 (p>1) som inte har några andra positiva delare än 1 och sig själv. Primtal kan endast heltalsfaktoriseras som:

$$p=1\cdot p$$

De fem första primtalen är 2, 3, 5, 7 och 11.

Heltal s större än noll som kan heltalsfaktoriseras med hjälp av andra tal än och 1 kallar vi för sammansatta tal, eftersom de kan skrivas som produkten av minst två primtalsfaktorer. Talet 42, som vi inledde detta avsnitt med, är ett sammansatt tal, eftersom vi kan skriva det som produkten av primtalsfaktorerna 2, 3, och 7.

Minsta gemensamma multipel (MGM)

Med en multipel av ett tal a menas ett tal

$$a\cdot k$$

där k är ett heltal.

Om talet a = 3, är dess fyra första positiva multiplar 3 (3 ∙ 1), 6 (3 ∙ 2), 9 (3 ∙ 3), och 12 (3 ∙ 4). Multiplarna till talet a är alltså talen i talet a:s multiplikationstabell.

Det går också att hitta en multipel av två eller flera tal. Om vi tar talen 2 och 3 har de gemensamma multiplarna 6 (3 ∙ 2), 12 (3 ∙ 2 ∙ 2), 18 (3 ∙ 2 ∙ 3), och så vidare. Det första talet i listan, 6, kallas för den minsta gemensamma multipeln (MGM) till 2 och 3.

En vanlig tillämpning till varför det är bra att kunna hitta den minsta gemensamma multipeln till två eller flera tal är när vi vill få bråktal att ha gemensam nämnare. Att få två bråktal att ha gemensam nämnare kan man alltid hitta en gemensam multipel genom att multiplicera nämnarna med varandra. Dock är den beräknade multipeln inte nödvändigtvis den minsta multipeln och det kan resultera i att uttrycket onödigt stort och komplicerat. Med hjälp av primtal kan vi göra ett bättre val av multipel, som gör att vi kan skriva nämnaren i bråktalet på en enklare form.

Med talen 2 och 3 var det relativt enkelt att hitta MGM, men hur gör man om man till exempel har talen 42 och 48, och vill hitta MGM till dessa tal?

En multipel av 42 och 48 är produkten av de båda talen:

$$42\cdot 48=2016$$

För att hitta MGM till 42 och 48 kan vi börja med att primtalsfaktoriserar talen, då får vi

$$42={\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}\cdot 7$$

och

$$48=2\cdot 2\cdot2\cdot{\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}$$

Vi kan se att 42 och 48 har talen 2 och 3 (markerade i rött) som gemensamma primtalsfaktorer.

Den minsta gemensamma multipeln blir då det tal, vars primtalsfaktorisering innehåller alla gemensamma primtalsfaktorer (som bara behöver vara med en gång) tillsammans med alla icke-gemensamma primtalsfaktorer.

$$MGM(42,\ 48)={\color{Red} 2}\cdot {\color{Red} 3}\cdot 7\cdot 2\cdot 2\cdot 2=336$$

Eratosthenes såll

Eratosthenes var en grekisk vetenskapsman som levde ca 276-194 f.Kr. Han var föreståndare för biblioteket i Alexandria i nuvarande Egypten och uppfann bland annat en metod för att beräkna jordens storlek. Det han är mest känd för är en metod för att bestämma vilka tal som är primtal.

Metoden kallas för Eratosthenes såll och utgörs av följande steg:

  1. Gör först en lista med alla heltal större än 1 upp till en viss övre gräns n .
  2. Stryk från listan alla jämna tal större än 2.
  3. Listans nästa tal som inte är struket är ett primtal.
  4. Stryk sedan alla tal, som är större än det primtal som du hittade i det föregående steget och samtidigt är multiplar av det primtalet.
  5. Upprepa nu steg 3-4 tills nästa tal på listan som varken är struket eller ett primtal är större än kvadratroten ur talet n (den övre gränsen).
  6. Alla tal som nu återstår på listan är primtal.

En metod som utgörs av en begränsad uppsättning instruktioner för att lösa en viss uppgift, till exempel den metod vi just gått igenom för att hitta primtal, kallas för en algoritm .

Videolektioner

Här går vi igenom vad ett primtal, sammansatt tal och primtalsfaktorer är.

Här går vi igenom vad minsta gemensamma nämnare är (MGN).

Här tar vi reda på vilka av talen mellan 1 och 30 som är primtal med hjälp av Eratosthens Såll.

Har du en fråga du vill ställa om Primtal? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!