Räkneordning

Som vi nämnde i avsnittet om heltalen och de naturliga talen, är det viktigt att olika personer är överens om vilka regler som gäller för hur man använder tal, till exempel heltal. Är man inte överens om det, då kan det bli problem, eftersom man då menar olika saker när man räknar.

På samma sätt är det viktigt att man följer samma regler vad gäller i vilken ordning man beräknar matematiska uttryck, det man kallar räkneordning.

Om man har ett matematiskt uttryck som innehåller flera olika räknesätt eller parenteser, då kan resultatet påverkas av i vilken ordning man gör de olika räkneoperationerna.

Tittar vi på uttrycket

$$5+7\cdot 2$$

så får vi ett visst resultat av beräkningen om vi utför multiplikationen först, innan additionen:

$$5+7\cdot 2=5+14=19$$

Om vi däremot utför additionen först, innan multiplikationen, då får vi ett annat resultat:

$$5+7\cdot 2=12\cdot 2=24$$

Som vi ser så fick vi olika resultat beroende på vad vi började med. Detta kan vara ödesdigert. Om till exempel en ingenjör räknar på ett sätt och en annan ingenjör på ett annat sätt, då skulle detta kunna leda till att byggnader eller broar blev felkonstruerade och rasade samman och människor kom till skada.

För att alla alltid ska få samma svar (så länge man inte räknar fel) har man enats om prioriteringsregler som talar om för oss i vilken ordning de olika räkneoperationerna ska utföras. Man har bestämt att multiplikation och division alltid ska komma före addition och subtraktion. Ibland kan man dock ha uträkningar där man vill utföra addition eller subtraktion innan en multiplikation eller division, och för att visa detta så sätter man in det man vill ska räknas först i en parentes.

Prioriteringsreglerna (räkneordningen) för parenteser och de fyra räknesätten lyder så här:

  1. Parenteser
  2. Multiplikation och division
  3. Addition och subtraktion

När vi har ett matematiskt uttryck innebär dessa regler, räkneordningen, alltså att vi först beräknar eventuella uttryck inom parenteser, sedan utför vi multiplikationer och divisioner och i det sista steget utförs additioner och subtraktioner.

Om vi går tillbaka till vårt exempeluttryck från början av avsnittet, så kan vi nu beräkna det direkt utifrån prioriteringsreglerna ovan:

$$5+7\cdot 2=5+14=19$$

Först utför vi alltså multiplikationen och när vi är klara med den utför vi additionen. Sedan är vi klara. Resultatet av uträkningen blev 19.

Men om vi vill att uträkningen istället ska ge resultatet 24, enligt

$$5+7\cdot 2=12\cdot 2=24$$

då räcker det inte att skriva så eftersom uträkningen är fel enligt prioriteringsreglerna. Vi måste förtydliga vad vi menar genom att sätta ut en parentes. Sätter vi ut en parentes, då ändrar vi ju ordningen som man räknar uttrycket, enligt prioriteringsreglerna. Vi skriver i så fall om uttrycket så att det istället lyder

$$(5+7)\cdot 2$$

I detta uttryck tillämpar vi först prioriteringsreglerna på uttrycket inom parentesen (5 + 7 = 12) och beräknar först i nästa steg multiplikationen, eftersom vi då är klara med parentesen.

Sammantaget blir uträkningen och det rätta uttrycket för att ge resultatet 24 så här:

$$(5+7)\cdot 2=12\cdot 2=24$$

I ett senare avsnitt kommer vi även att bekanta oss med något som heter potenser. När en potens ingår i ett uttryck beräknas den i räkneordningen efter eventuella parentesuttryck men före multiplikationer och divisioner. Än så länge nöjer vi oss dock med att lära oss räkneordningen för parenteser och de fyra räknesätten.

Videolektion

Här berättar vi i vilken ordning man ska räkna ut ett uttryck.

Hjälpmedel

Uppgiften är uträknad med hjälp av grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift uträknad med hjälp av grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Räkneordning? Ställ den i Mattebokens forum!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!