Talsystem

I de föregående avsnitten har vi utgått från att det är självklart hur ett tal, till exempel 42, ska tolkas. Men om vi ser på saken ur ett större perspektiv visar det sig att det idag finns, och historiskt har funnits, flera olika talsystem, som bestämmer hur man anger tals värden. I det här avsnittet ska vi gå igenom några av de vanligare förekommande talsystemen.

Det decimala talsystemet

Om vi skriver talet 42, vad betyder det egentligen? Enligt vårt talsystem, som kallas det decimala talsystemet, betyder det fyra tiotal och två ental, vilket också kan skrivas som

$$42=40+2=4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}$$

Vi kan notera att det är placeringen som avgör hur mycket en siffra är värd, vad den representerar.Varje förflyttning åt höger eller vänster multiplicerar (vänster) eller delar (höger) siffrans värde med 10. Det decimala talsystemet kallas så eftersom det består av tio siffror (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, och 9) och varje steg ändrar det värde som siffran representerar med en faktor 10.

Det romerska talsystemet

I Romarriket under antiken användes inte samma talsystem som vi gör idag.Istället använde man följande tecken:

Romersk siffra I V X L C D M
Decimal motsvarighet 1 5 10 50 100 500 1000

Hur ett tal enligt det romerska talsystemet ska tolkas bestäms av följande regler:

Om två likadana siffror är placerade bredvid varandra, läggs de ihop, till exempel II = 1 + 1 = 2.Om en mindre siffra är placerad före en större siffra,då subtraheras den mindre från den större, till exempel IV = 5 - 1 = 4.Om en mindre siffra står efter en större siffra, då adderas den mindre till den större, till exempel VI = 5 + 1 = 6.

Med hjälp av de romerska siffrorna kan vi uttrycka alla tal, men att utföra olika matematiska operationer blir ganska snabbt väldigt krångligt. Att addera MCMXCIX med sig självt är svårt, men det går. Att försöka multiplicera MCMXCIX är ännu svårare.

Idag används romerska siffror mest på klockor och för att skriva årtal. Man använder det också för att numrera listor, till exempel:

  1. Vakna
  2. Stiga upp
  3. Klä på sig
  4. Äta frukost

Hur uttrycker vi då talet 437 (skrivet enligt det decimala talsystemet)som ett tal skrivet enligt det romerska talsystemet?

Vi börjar med att skriva om talet som en summa av andra tal och därifrån kan vi lättare skriva om det enligt det romerska talsystemet:

$$437=400+30+7$$

Varje term i denna summa kan nu lättare skrivas om till romerska siffror, utifrån de regler som vi tog upp ovan:

$$437=400+30+7=\\=(-100+500)+(10+10+10)+(5+1+1)=\\=CDXXXVII$$

Det binära talsystemet

Det finns talsystem uppbyggda utifrån ett annat antal siffror än 10. Ett exempel på det är det binära talsystemet. "Bi" betyder två och det binära talsystemet heter som det gör därför att det endast använder två siffror:noll och ett. Ett vanligt förekommande användningsområde för det binära talsystemet är inom digital elektronik, till exempel datorer.

I den decimala världen ökar eller minskar värdet som representeras av en siffra med en faktor 10 beroende på siffrans placering i ett tal. I den binära världen ökar eller minskar värdet istället med en faktor 2.

Om vi har talet 10011 skrivet enligt det decimala talsystemet, så menar vi enligt detta talsystem:

$$10011=1\cdot 10^{4}+0\cdot 10^{3}+0\cdot 10^{2}+1\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0} $$

Om vi har talet 10011 skrivet enligt det binära talsystemet, så menar vi enligt det decimala talsystemet följande:

$$10011=1\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=\\=16+0+0+2+1=19$$

För att omvandla ett tal skrivet enligt det decimala talsystemet till det binära talsystemet, skriver vi talet som en summa av tvåpotenser, på samma sätt som vi gjorde ovan. De tvåpotenser som vi ska addera har en etta som koefficient, medan de som vi inte ska addera har en nolla.

Antalet siffror i ett talsystem kallas dess bas. Det decimala systemet har basen 10 och det binära systemet har basen 2. För att kunna skilja tal skrivna i olika baser från varandra brukar man skriva ut talbasen i form av ett tal som står snett nedanför till höger om de övriga siffrorna i talet. Därigenom kan vi tydligt visa om vi menar ett tal skrivet i till exempel det decimala systemet

$$10011_{10}$$

eller det binära systemet

$$10011_{2}$$

Har du en fråga du vill ställa om Talsystem? Ställ den i Mattebokens forum!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se