Matte 2

Här finner du all matematik som hör till gymnasieskolans kurs Matematik 2a, 2b och 2c.

Matte 2 bygger vidare från Matte 1, där fokus kommer ligga på funktioner så som räta linjer och ekvationssystem. Detta fokus på funktioner fortsätter med introduktionen av andragradsfunktioner och dess grafer och tillämpningar. Matte 2a ska kunna använda och motivera Pythagoras sats om ligger under avsnittet ”Definition, sats och bevis” som i övrigt är riktat till b- och c-spåret. Matte 2c och 2b läser även korrelation och regressionsanalys.

Här nedan är de områden från Matte 1 som är förkunskaper till Matte 2, titta gärna igenom dessa och repetera.

• Uttryck och variabler, förenkling och faktorisering
• Ekvationer och formler
• Potenser och kvadratrötter
• Koordinatsystem, funktionsbegreppet, grafer och räta linjens ekvation
• Exponential- och potensfunktioner
• Grafiska lösningar på
• Linjära olikheter, algebraiska och grafiska lösningar
• Sträckor och vinklar i koordinatsystem
• Tolka diagram, medelvärde, median och typvärde
  
  

Allmänna kunskaper från grundskolan som alltid är bra att hålla koll på:

• Grundläggande algebra
• Prioritetsordning för räknesätten
• Negativa tal
• Beräkningar med bråk
• Omkrets och area

I detta avsnitt ska vi ska fördjupa oss matematikens kulturhistoria och specifikt gräva i historien och personerna som först i logaritmer och kvadratkomplettering med koppling till historien.

Logaritmer

Visste du att logaritmer anses vara uppfunna? Det behövdes invers till ”upphöjt till” som vi kunde använda i matematiken om vi sökte en okänd exponent. Den som var först med att dokumentera något om logaritmer var John Napier. John Napier var en skotsk matematiker, fysiker och astronom som levde på 1500-talet.  Bara tre år innan hans död skrev Napier en bok där han både beskrev och hade många utförliga tabeller över logaritmer och deras värden. Han använde en logaritm som vi kommer stöta på i Matte 3 som kallas den naturliga logaritmen, utan att han egentligen kände till vilket tal som användes som bas, han använde ett närmevärde så länge. Flera årtionden senare och efter John Napiers död skulle en schweizisk matematiker hitta denna konstant som vi nu kallar talet e.

Andragradsekvationer och kvadratkomplettering
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi persisk matematiker som levde på 800-talet. Han var som många andra matematiker i historien mycket mer än det och hade även inflytande på astronomi och geografi och hade under medeltiden en tjänst på det kända lärosätet och biblioteket Visdomens hus i Bagdad. Al-Khwarizmi är känd som fadern till Algebra och uppfann kvadratkomplettering och var därför den första att lösa komplicerade andragradsekvationer. Al-Khwarizmis namn utsprunget till ord så som algoritm och på latinska språk används även orden guarismo/algarismo som kommer från Al-Khwarizmis namn och betyder siffra.

En av de saker som matematikern Al-Khwarizmi är mest känd för är att han skrev den matematiska boken ”Al-Jabr” (fullständiga namnet är ”Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-jabr wal-muqābala”), denna matematikbok spreds och översattes till latin och hade därmed så stort inflytande att den till slut gav namnet till området algebra. Det är även många som anser att Al-Khwarizmi inte bara gav namnet till algebra utan är också dess grundare. Det var i denna bok som Al-Khwarizmi beskrev lösningar på olika andragradsekvationer, bland annat med metoden kvadratkomplettering. Han kallade inte metoden för just kvadratkomplettering, men namnet vi använder nu beskriver exakt hans metod för han använde sig av geometriska figurer och kompletterade (fylla ut, fullständiga) en kvadrat. Vi tittar på hur Al-Khwarizmi skulle löst denna andragradsekvation.

$$x^2+10x = 39$$

Vi översätter de olika termerna till areor, \(x^2\) blir en kvadrat där alla fyra sidor har längd \(x\) och \(10x\) blir en rektangel med sidan \(10\) och \(x\) som tillsammans har arean 39. Rektangeln delar vi i två bitar och flyttar runt tills de nästan formar en större kvadrat. Vi kompletterar nu med det som saknas, en kvadrat med sidorna 5 (detta får vi från rektangeln som vi delade upp). Därför lägger vi till en area på 25 på varje sida om likhetstecknet, så här:

$$x^2 +10x = 39$$

$$x^2 +5x+5x +25 = 39+25$$

Geometriskt har vi nu en kvadrat med sidorna x+5 och area som ger oss ekvationen \((x+5)(x+5) = 64\), se bilden nedan.

Notera att eftersom vi gjorde detta geometriskt får vi enbart en positiv rot fast vi vet nu att även \(x+5 = -8 \rightarrow x = -13\) skulle vara en lösning till ekvationen.

Även om detta var metoden som användes i Al-Jabr på 800-talet fanns inte notationer som ”x” på den tiden och i boken beskrevs ekvationerna med ord i stället. 

Vi har redan märkt hur stort inflytande Al-Khwarizmi haft på matematiken, men vi avslutar med några fler saker han bidragit med.

• Trigonometri
  Han uppfann inte trigonometri, men var som vi vet nu framstående både i matematik och astronomi, så han använde det mycket. Han var dock först med att sammanställa tabeller med värden för sinus, cosinus och tangens.
  
  
• Siffror och decimalsystemet
  En annan bok som Al-Khwarizmi skrev ledde till att de arabiska siffrorna ersatte romerska siffror i västvärlden. I stället för att olika bokstäver hade ett eget värde började vi använda siffror och positionen fick bestämma värdet. Han bidrog även att vi började använda decimaltecknet. En annan matematiker som bidrog till decimaltecknets användning var John Napier som vi nämnde tidigare.

I senare kurser kommer vi utveckla mycket av det material som vi går igenom i Matte 2

I Matte 3 återkommer polynom, algebraiska uttryck och funktioner som vi fördjupar oss i. Sedan bygger vi vidare från funktioner till derivata och integraler, vilket är att vi kommer kunna hitta funktionen som beskriver lutningen till andra funktioner eller om vi vill i stället vill ha en funktion som beskriver arean som bildas under en funktion. Detta kanske låter något förvirrande nu, men om du har linjen y = 3x +5, så kan du säkert svara vad lutningen till funktionen är redan nu.

Matte 4 bygger mestadels på det som vi lär oss i Matte 3 men en sak från Matte2 som återkommer är att vi kommer kunna göra fler beräkningar på normalfördelningen med integraler.

Senare kommer vi bygga på vissa delar av kunskaperna från denna kurs i Matte 5. Närmaste bestämt kommer vi i Matte 5 fortsätta jobba med bevis och olika metoder för att bevisa satser, detta kallas för Bevisteknik.

Dessutom kommer vi utöka sannolikhet heter med ett avsnitt som heter Kombinatorik, där kommer vi bland annat beräkna hur många utfall som finns. Exempel på uppgifter kan vara:

På hur många sätt kan du skapa en glass med två kulor om det finns fem olika smaker?

På hur många sätt kan du bilda två lag i en klass på 30 elever?

På hur många sätt kan du bilda en kö med fyra personer om den som är äldst måste stå först?

Vad tror du svaret kan vara?

Avslutningsvis finns det fler roliga saker att fördjupa sig i kopplat till det vi lärt oss i Matte 2, ett exempel är om du vill lära dig mer om statistik kan du besöka hemsidan till Statistikmyndigheten SCB, de har en databas med alla möjliga olika sorters data som de samlat in. Exempelvis:

Visste du att om du hade 100kr i september 1921 så motsvarade det 2556,62 kr i september 2022?  

Eller att under 2013 så gick det 121 710 flyg utrikes från Sveriges flygplatser och att 112 066 av dem gick inom Europa?

De har också statistik över namn i Sverige och nedan är ett exempel på en tabell de sammanställt över vanligaste namnen i Sverige 2021.

(Källa: SCB)