Andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation som kan skrivas på formen:

$ax^{2}+bx+c=0$

Där a, b, och c är konstater samt att a är skilt från noll (då är det ingen andragradsekvation längre).

Ett exempel på en andragradsekvation är:

$4x^{2}-64=0$

Den löser vi genom att flytta över 64 till andra sidan:

$4x^{2}=64$

Sedan dividera med 4 och ta roten ur:

$\\\frac{4x^{2}}{4}=\frac{64}{4}\\\\x^{2}=16\\\\\sqrt{x^{2}}=\sqrt{16}$

När vi tar roten ur ett tal så får vi alltid en positiv rot och en negativ rot alltså får vi lösningen:

$x_{1}=+4\; \; \; \; x_{2}=-4$

För mer komplicerade andragradsekvationer så finns en generell lösning. Den är väldigt central i matte B och kallas för pq-formeln. Ekvationen:

$x^{2}+px+q=0$

Har lösningen:

$x=\frac{-p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2}-q}$

Dvs x = halva koefficienten för x med ombytt tecken, plusminus roten ur kvadraten för halva koefficienten för x minus den konstanta termen.

Detta kanske låter besvärligt så här kommer ett exempel:

$4x^{2}+32x+28=0$

Vi börjar att dividera med 4:

$\frac{4x^{2}}{4}+\frac{32x}{4}+\frac{28}{4}=0$

Och får:

$x^{2}+8x+7=0$

Nu tar vi pq-formeln och stoppar in våra värden istället för p och q:

$\\x=\frac{-8}{2}\pm \sqrt{(\frac{8}{2})^{2}-7}\\\\x=\frac{-8}{2}\pm \sqrt{16-7}$

Vi förenklar och får:

$\\x=-4\pm \sqrt{9}\\x_{1}=-4+3=-1\\x_{2}=-4-3=-7$