Yttervinkelssatsen
Beräkna vinklarna A, B, C i triangeln.
Transversal- och topptriangelsatsen
2. Beräkna sidan x och y.
Randvinkelsatsen
3. Beräkna vinkel x och y.
Scrolla ner för lösning!
Lösning:
1.
Yttervinkelsatsen säger att summan av två vinklar i en triangel
är lika med yttervinkeln i den tredje triangeln. Vi får då
sambandet att y + 70 =120° och då är y = 50°. Vinkelsumman i en
triangel är 180° och vi beräknar x genom x = 180 - 50 -70 =
60°.
2. Topptriangelsatsen går ut på att när en triangel delas på
något ställe på toppen (som på bilden) kommer den lilla triangeln i
den stora triangeln vara likformiga mot den stora. När två
trianglar är likformiga betyder det att vinklarna i trianglarna är
lika och att den lilla triangeln är den stora fast i mindre skala.
När vi använder oss av topptriangelsatsen innebär det att vi
beräknar ut skalan mellan den lilla och stora triangeln genom att
dela den lilla triangelns sida med motsvarande sida i den stora
triangeln. Vi får nu en skala mellan den stora triangeln och den
lilla triangeln, som vi använder oss av för att beräkna den okända
sidan.
Man använder sig av topptriangelsatsen, då man behöver räkna ut
basen på den lilla triangeln, dvs y i våran fråga, eller om vi
endast har en hel angiven sida i triangeln.
Transversalsatsen betyder att vi beräknar kvoten mellan de två
halvorna i sidan av triangeln. Det är ett mått på relationen mellan
de två halvorna, t. ex. den ena halvan är dubbel så stor som den
andra halvan.
Vi beräknar x och y med de två satserna.
Vi får relationen i transversalsatsen:
x/8 = 3/6 = 1/2.
x = 8/2 = 4
Relationen mellan halvorna i sidorna är:
4/8 = 3/6 = 1/2 vilket är transversalsatsen.
För toptriangelsatsen får vi följande relation:
x/(x+8) = 3/9 = 1/3
3x = x + 8
2x = 8
x = 4
Relationen mellan lilla och stora triangel är:
4/12 = 3/9 =1/3, vilket är topptriangelsatsen.
Vi beräknar nu y som gör enklast genom topptriangelsatsen.
y/ 15 = 3/9 = 1/3
y = 15/3 = 5
Svar: x = 4 cm och y = 5 cm
3. Randvinkelsatsen säger att medelpunktsvinkeln är dubbelt så
stor som randvinkeln. Följdsatsen är att alla randvinklar på samma
cirkelbåge har samma vinkel.
Alltså är x = 50° och y = 2x = 100°