Uppgift 18

Figuren visar grafen till tredjegradsfunktionen \(f\) som ges av \(f (x) = x^3\) och en tangent till grafen i den punkt där \(x = a\). Tangenten, den positiva \(x\)-axeln och linjen \(x = a\) begränsar ett område som har formen av en triangel.

Bestäm \(a\) så att triangeln får arean 1,5 areaenheter.

Lösningsförslag

Om vi vill ha en area av en triangeln behöver vi ett uttryck för höjden och bredden av triangeln. Höjden på triangeln kommer blir \(f(a) = a^3\), för att hitta bredden kommer vi ta hjälp av tangentens ekvation. Vi börjar med att hitta derivatan. 

$$f'(x) = 3x^2$$

Vi sätter in att \(x=a\) och får \(f'(a) = 3a^2\) detta är lutningen till tangenten, som har ekvationen \(y=3a^2x+m\) för att hitta \(m\)-värdet sätter vi in punkten som vi har, \((a,a^3)\)

$$a^3=3a^3+m$$

$$m=-2a^3$$

Alltså är tangentens ekvation \(y=3a^2x-2a^3\) och bredden på triangeln kommer vara mellan tangenten korsar \(x\)-axeln och \(x=a\), vi hittar när tangenten korsar \(x\)-axeln när \(y=0\). Vi sätter in det i tangentens ekvation

$$0=3a^2x-2a^3$$

$$\frac{3a^x}{3a^2}=\frac{2a^3}{3a^2}$$

$$x= \frac{2}{3}a$$

Bredden blir \(a-\frac{2}{3}a=\frac{1}{3}a\)

Och arean ska vara \(1,5\) a.e. så vi får ekvationen:

$$\frac{a^3\cdot \frac{1}{3}a}{2}= \frac{1}{6}a^4 = 1,5 $$

$$a=\sqrt[4]{9}$$

Svar: \(a=\sqrt[4]{9}\)