Uppgift 17
Funktionen \(f\) ges av \(f(x)= \frac{5}{a^2x}\) där x≠0 och a≠0
Bestäm \(f '(x)\) med hjälp av derivatans definition.
Lösningsförslag
Om vi vill kan vi direkt derivera \(f(x)= \frac{5}{a^2x}\) för att veta var vi är på väg.
\(f'(x)=\frac{-5}{a^2x^2}\)
Vi letar upp derivatans definition i formelbladet och hittar
$$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} $$
Vi byter \(a\) mot \(x\) eftersom vi vill ha den generella derivatan, så vi sätter in våra värden och funktioner,
$$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{5}{a^2(x+h)}-\frac{5}{a^2x}}{h} $$
Vi hittar en gemensam nämnare \(a^2x(x+h)\) och får
$$\lim_{h\to 0} \frac{\frac{5x-5(x+h)}{a^2x(x+h)}}{h} =$$
$$=\lim_{h\to 0}\frac{5x-5x-5h}{h(a^2x(x+h)}= \lim_{h \to 0}\frac{-5h}{h(a^2x(x+h)}=$$
Nu kan vi förkorta med \(h\)
$$=\lim_{h\to 0}\frac{-5}{a^x(x+h)}$$
Nu kan vi låta \(h\) gå mot 0 och vi får derivatan
$$f'(x) = \frac{-5}{a^2x^2}$$
Jämför gärna med att derivatan som vi fick utan definitionen för att kontrollera!
Svar: \(f'(x) = \frac{-5}{a^2x^2}\)
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 3c, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här