Pris på biljett

En estetisk klass som går andra året på gymnasiet ska hålla en konsert för att samla ihop pengar till en klassresa. De har fått hyra en stor konsertlokal av kommunen för endast 1000 kr.

De planerar att sälja fika (kaffe/saft + bulle) i pausen på konserten. De räknar med att i princip alla konsertbesökarna kommer köpa fika. De tänkte sälja fikat för 25 kr och kostnaden per styck är 4 kr.

Vidare kostar biljetterna 1 kr/st att tillverka.

Givet ett visst biljettpris på \(x\) kr så beräknar de att antalet besökare blir:

$$460 - 3x$$

Vilket pris ska de ta för biljetterna för att få ihop så mycket pengar som möjligt till klassresan? Hur stor blir vinsten då och hur stor blir den per elev ifall klassen består av 28 elever?

Lösningsförslag:

Vi ställer upp uttryck för intäkterna respektive kostnaderna givet ett visst biljettpris: \(x\) kr.

Intäkterna = \(I(x)\)

Kostnaderna = \(K(x)\)

Vinsten \(V(x) = I(x) - K(x)\)

$$\begin{align} & I(x)=x\cdot (460-3x)+25(460-3x)\\ & K(x)=1000+4\cdot (460-3x)+1\cdot (460-3x)\\ & V(x)=I(x)-K(x)\end{align}$$

Vi förenklar uttrycken ovan:

$$\begin{align} I(x)= & x\cdot (460-3x)+25(460-3x)=(x+25)(460-3x)\\ K(x)= & 1000+4\cdot (460-3x)+1\cdot (460-3x)\\ =& 1000+5(460-3x)\\ V(x)= & (x+25)(460-3x)-1000+5(460-3x)\\ =& (x+25-5)(460-3x)-1000\\= & (x+20)(460-3x)-1000\end{align}$$

Vi vill nu maximera vinsten, d.v.s. \(V(x)\). Vi hittar maximum genom att sätta derivatan lika med noll:

$$\begin{align}V'(x)= & \frac{d}{dx}((x+20)(460-3x)-1000)\\  V'(x)= & -6x+400\\ V'(x) = & -6x+400=0 \implies 6x=400\implies x=66\cdot\frac{2}{3}\end{align}$$

Vinsten blir alltså maximal om biljettpriset sätts till \(66\cdot \frac{2}{3}\) kr, vilket vi kan avrunda till 66.5 kr.

Vinsten blir då:

$$V(66.5)= (66.5+20)(460-3(66.5))-1000 \approx 21533$$

Klassen har 28 elever och per elev blir vinsten:

$$\frac{21533}{28}\approx 769$$

Biljettpriset ska sättas till 66,5 kr och det ger en sammanlagd vinst på 21533 kr, vilket motsvarar 769 kr/elev.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.