Andragradsfunktioner

Ett polynom kan som vi tidigare sett vara ett nolltegradspolynom \(f(x)=a\), ett förstagradspolynom \(f(x)=ax+b\) eller ett andragradspolynom \(f(x)=ax^2+bx+c\) eller ännu högre grad. Vi ska nu studera hur ett andragradspolynom ser ut i ett koordinatsystem.

Vi ska börja med följande funktion:

$$f(x)=x^{2}$$

För att förstå hur funktioner av detta slag ser ut som graf så skapar vi först en värdetabell:

Sedan sätter vi in varje par av värden \( (x, f(x)) \) som punkter i ett koordinatsystem och sammanbinder punkterna:

Det ser ut som att sambandet bildar en symmetrisk u-formad kurva, som skär genom origo. Detta är helt rätt. Hade vi valt att beräkna och sätta in fler punkter hade vi fått en kurva som inte hade varit så kantig. Om vi hade valt att använda riktigt många punkter så skulle kurvan se ut enligt följande figur:

Eftersom x² i funktionsuttrycket har en positiv koefficient (i vår exempelfunktion är koefficienten 1) får kurvan ett minimivärde (här i punkten (0,0)).

Vi fortsätter med en annan funktion:

$$f(x)=-x^{2}$$

Denna funktion liknar den som vi inledde avsnittet med, men om man tittar på hur dess graf ser ut så ser man direkt en tydlig skillnad:

Om x² i funktionsuttrycket har en negativ koefficient (i exemplet är koefficienten -1) blir kurvan en upp-och-ner-vänd version av kurvan i det förra exemplet, och får en maximipunkt (här i punkten (0,0)).

Alla andragradsfunktioner har formen av en parabel. Men parablarnas "bredder" och placeringar i koordinatsystemet skiljer dem åt.

Exempel på andragradsfunktioner

$$f(x)=3x^{2}+1$$

$$f(x)=2x^{2}+4x$$

$$f(x)=x^{2}+4x-8$$

$$f(x)=-x^{2}+x+6$$

Vi har tidigare sett att en andragradsekvation har antingen två rötter, en rot eller ingen reell rot alls. Detta blir förtydligat när vi nu även kan studera funktionerna grafiskt.

I en vanlig andragradsfunktion med två nollställen kan vi ofta tydligt se nollställena, alltså de punkter där kurvan skär x-axeln (där y=0). Det är dessa x-värden som vi räknar ut när vi löser en andragradsekvation.

Ett exempel på en sådan andragradsekvation

$$x^{2}-6x+5=0$$

Denna typ av andragradsekvation kan vi lösa med pq-formeln:

$$p=-6$$

$$q=5$$

$$x=-\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2} \right )^{2}-5}$$

$$x=3\pm \sqrt{4}=3\pm 2$$

$$x_{1}=5 \: och \: x_{2}=1$$

Motsvarande andragradsfunktion skrivs

$$f(x)=x^{2}-6x+5$$

och dess graf ser ut så här:

Om vi studerar denna graf ser vi att funktionens nollställen (alltså där f(x)=0) finns vid just de x-värden som utgjorde lösningar på andragradsekvationen.

Varje andragradsfunktion har en symmetrilinjem i detta fall är den längs x = 3. Det innebär att kurvan till vänster om symmetrilinjen är en exakt spegelbild av kurkan till höger om symmetrilinjen. Vi markerar linjen i koordinatsystemet med andragradsfunktionen. 

En andragradsfunktions symmetrilinje är alltid vertikal och parallel med y-axeln. Maxi- eller minimipunkten för andragradsfunktionen kommer alltid ligga på symmetrilinjen. Eventuella nollställena till andragradsfunktionen kommer alltid ha samma avstånd till symmetrilinjen, eftersom den ligger i mitten. Vi kan alltså hitta symmetrilinjen med hjälp av att ta medelvärdet på nollställena. I andragradsfunktionen ovan skulle det bli så här

$$\frac{1+5}{2}=3$$

Vi kan även hitta symmetrilinjen via första delen av pq-formeln, innan rottecknet, det vill säga 

$$x=\frac{-p}{2}$$

Vi tittar på en till andragradsfunktion \(f(x)\) som har nollställena \(x_1 = 1\) och \(x_2= -2\) och går genom punkten \((0,-3)\), nu ska vi hitta ekvationen och sen tittar vi på hur grafen ser ut. 

Ekvationen till andragradsfunktionen blir på formen \(f(x) = k (x-x_1)(x-x_2)  \) där \(x_1\) \(x_2\) är nollställena och \(k\) är en okänd konstant, vi sätter in nollställena och beräknar sedan värdet på \(k\). Notera att det är x minus nollställena, så det negativa nollstället kommer bli x plus 2, så här

$$f(x) = k(x-1)(x+2) $$

För att bestämma konstanten \(k\) använder vi villkoret att grafen ska gå genom punkten \((0,-3)\) och ersätter därför x-värdena med 0 och funktionsvärdet med -3 och får då en ekvation där vi kan lösa ut \(k\).

$$-3 = k (0-1)(0+2) $$

$$-3 = -2k $$

$$k = \frac{3}{2}= 1,5$$

Alltså är ekvationen till funktionen

$$f(x) = 1,5 (x-1)(x+2)$$ 

och vi kan titta på grafen

Vi kan även se om en funktion bara har ett nollställe

$$f(x)=x^{2}-2x+1$$

Denna funktions graf ser ut så här:

Kurvan ser ut att tangera x-axeln, så att bara finns en punkt på kurvan där y=0 och denna punkt ser ut att vara x=1. Detta kan vi kontrollera genom att lösa motsvarande andragradsekvation:

$$ x^{2}-2x+1 = 0$$

Vi löser andragradsekvationen med hjälp av pq-formeln:

$$x=-\frac{(-2)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-2)}{2} \right )^{2}-1}$$

$$x=1\pm \sqrt{1-1}=1 \pm 0=1$$

$$x_1 = x_2 = 1$$

Eftersom den enda roten till andragradsekvationen var en dubbelrot x₁=x₂= 1 kan vi nu konstatera att vi hade rätt i vad vi trodde utifrån vår undersökning av andragradsfunktionens graf. Funktionens enda nollställe finns där x=1.

Slutligen ska vi se hur en andragradsekvation utan rötter ser ut grafiskt och hur vi kan få fram ekvationen genom att utläsa koordinater till punkter på en parabel

$$x^{2}-2x+2=0$$

Försöker vi att lösa denna ekvation med pq-formeln, då blir uträkningen så här:

$$p=-2$$

$$q=2$$

$$x=-\frac{(-2)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-2)}{2} \right )^{2}-2}$$

$$x=1\pm \sqrt{1-2}=1\pm \sqrt{-1}$$

Eftersom vi kom fram till ett uttryck för x som innehåller roten ur ett negativt tal, kan vi dra slutsatsen att ekvationen inte har någon reell lösning, det finns inga reella rötter till ekvationen.

För denna andragradsfunktion som nedan,

$$f(x)=x^{2}-2x+2 $$

Så kan vi betrakta grafen till denna funktion, som vi kan se här nedan, är intressant, eftersom denna andragradsfunktion inte har några nollställen (det finns inget x-värde som kan väljas så att f(x)=0) - kurvan skär aldrig x-axeln, utan håller sig hela tiden över x-axeln.

Vi ritar en till graf här nedan för andragradsfunktionen 

$$f(x) = -x^2 +4x -5$$

Då koefficienten framför x² är negativ (i detta fall -1) så har vi lärt oss att kurvan har ett maximum och ser ut som en ledsen mun. Vi ser att maximumpunkten ligger under x-axeln så därför har denna andragradsfunktionen inte heller några reella nollställen eftersom kurvan aldrig skär x-axeln.

Om vi vill ta reda på ekvationen till andragradsfunktionen f(x) där det inte finns några nollställen så kan vi hitta koordinater för 3 punkter på en graf för f(x), om inte 3 punkter redan är givna i uppgiften. I detta exempel utgår vi från grafen nedan för att hitta 3 punkter till andragradsfunktionen. 

Vi väljer 3 punkter och börjar strategiskt med där grafen korsar y-axeln vilket blir punkten \(0,2\). Sedan tar vi två andra punkter med tydliga heltal som koordinater, som är lättare att räkna med, \(1,4\) och \(-2,4\). 

Vi utgår från följande standardekvation med konstanterna a,b och c:

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

Vi sätter in respektive koordinater för de utvalda punkterna i ekvationen. Vi börjar med koordinaterna för \((0,2)\) och får då

$$f(0) = a\cdot 0 +b\cdot 0 +c = 2$$

då kan vi bestämma att \( c=2\). Punkten \(1,4\) ger oss
$$f(1)=a\cdot 1^2+b\cdot 1+2 =4 $$ 
och punkten \((-2,4)\) ger oss
$$f(-2)=a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+2 = 4$$ 
Tillsammans bildar dessa ett ekvationssystem som ser ut som följanede

$$\begin{cases}a+b+2 = 4 \\ 4a-2b+2=4 \end{cases}$$

Lös a och b i ekvationssystemet så får vi ekvationen, \(a=1\) och \(b=1\) (och \(c=2 \) sen tidigare)

$$f(x)=x^2+x+2$$