Räkna med komplexa tal i polär form

I det förra avsnittet gick vi igenom hur vi kan skriva komplexa tal i polär form. Vi har tidigare undersökt hur det går till när vi räknar med komplexa tal skrivna i rektangulär form. Vi såg då att det blir ganska komplicerade beräkningar då vi har att göra med multiplikation och division av komplexa tal skrivna i denna form.

I det här avsnittet ska vi därför gå igenom hur multiplikation och division går till då de komplexa talen är skrivna i polär form. Att talen är skrivna i polär form underlättar nämligen beräkningar med dessa båda räknesätt.

Multiplikation och division av komplexa tal i polär form

Vi har två komplexa tal z1 och z2 skrivna i polär form

$${z}_{1}=|{z}_{1}|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)$$

$${z}_{2}=|{z}_{2}|\cdot (\cos\,u+i\cdot \sin\,u)$$

där |z1| och |z2| är respektive komplext tals absolutbelopp, och vinklarna v och u är respektive komplext tals argument. I ett sådant fall gäller följande räkneregler för multiplikation och division av dessa komplexa tal.

Multiplikation

$${z}_{1}\cdot {z}_{2}=|{z}_{1}|\cdot |{z}_{2}|\cdot (\cos\,(v+u)+i\cdot \sin\,(v+u))$$

Division

$$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{|{z}_{1}|}{|{z}_{2}|} \cdot (\cos\,(v-u)+i\cdot \sin\,(v-u))$$

Vi vill multiplicera följande komplexa tal.

$$z=6\cdot (\cos\,{40}^{\circ}+i\cdot \sin\,{40}^{\circ})$$

$$w=2\cdot (\cos\,{15}^{\circ}+i\cdot \sin\,{15}^{\circ})$$

De båda talen är redan skrivna i komplex form. Vad vi behöver göra nu är att identifiera respektive komplext tals absolutbelopp och argument, och sedan följa räkneregeln för multiplikation ovan. Vi får

$$z\cdot w=6\cdot 2\cdot (\cos\,({40}^{\circ}+{15}^{\circ})+i\cdot \sin\,({40}^{\circ}+{15}^{\circ}))=$$

$$=12\cdot (\cos\,{55}^{\circ}+i\cdot \sin\,{55}^{\circ})$$

Nu är produkten av de båda komplexa talen skriven i polär form.

Vi vill dividera följande komplexa tal.

$$z=6\cdot (\cos\,{40}^{\circ}+i\cdot \sin\,{40}^{\circ})$$

$$w=2\cdot (\cos\,{15}^{\circ}+i\cdot \sin\,{15}^{\circ})$$

På samma sätt som vid multiplikation är allt vi behöver göra nu att följa räkneregeln för division ovan, så vi får

$$\frac{z}{w}=\frac{6}{2}\cdot (\cos\,({40}^{\circ}-{15}^{\circ})+i\cdot \sin\,({40}^{\circ}-{15}^{\circ}))=$$

$$=3\cdot (\cos\,{25}^{\circ}+i\cdot \sin\,{25}^{\circ})$$

Nu är kvoten av de båda komplexa talen skriven i polär form.

Har du en fråga du vill ställa om Räkna med komplexa tal i polär form? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se

Hur man skriver om ett komplext tal på rektangulär form till polär form.

  • Polär form: att skriva det komplexa talet \(z \) utifrån pilens längd mellan origo och punkten, samt vinkeln mellan pilen och den reella axelns positiva sida, \(Re(z)\). Två komplexa tal i polär form \(z_1\) och \(z_2\):

    $${z}_{1}=|{z}_{1}|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)$$

    $${z}_{2}=|{z}_{2}|\cdot (\cos\,u+i\cdot \sin\,u)$$

  • Multiplikation av tal i polär form:
    $${z}_{1}\cdot {z}_{2}=|{z}_{1}|\cdot |{z}_{2}|\cdot (\cos\,(v+u)+i\cdot \sin\,(v+u))$$
  • Division av tal i polär form:
    $$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}=\frac{|{z}_{1}|}{|{z}_{2}|} \cdot (\cos\,(v-u)+i\cdot \sin\,(v-u))$$