Derivata Kedjeregeln

Betrakta kurvan \(y=(x^2-4x+3)^2+1\). Visa med hjälp av derivatan att kurvan har en vågrät tangent i en punkt vars \(x\)-koordinat är 2. Ange en ekvation för denna tangent. Finns det fler punkter på kurvan där tangenten är vågrät?

Lösningsförslag:

Vi börjar med att derivera funktionen. Eftersom funktionen \(y=(x^2-4x+3)^2+1\) är en sammansatt funktion deriverar vi genom att använda oss av kedjeregeln, vilken är:

$$y'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)$$

då vi sätter att \(y(x)=f(g(x))\), där \(g(x)=x^2-4x+3\) och \(f(u)=u^2+1\).

Vi tar först fram \(f'(g(x))\), vilket enklast tas fram genom att först hitta \(f'(u)\):

$$f(u)=u^2+1 \implies f'(u)= 2u$$

Sätter vi nu in \(g(x)=u\) får vi \(f'(g(x))\):

$$f'(g(x))=2(x^2-4x+3)$$

Nu tar vi fram \(g'(x)\):

$$g(x)=x^2-4x+3 \implies g'(x)=2x-4$$

Vi använder oss nu av kedjeregeln och sätter in de derivator vi räknade ut:

$$\begin{align} & y'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x) \\ & y'(x) = 2(x^2-4x+3) \cdot (2x-4) \end{align}$$

För att hitta derivatans nollställen sätter vi derivatan lika med noll. Det betyder att uttrycken i parenteserna ska sättas lika med noll och att vi kan lösa dessa ekvationer var för sig.

$$y'(x) = 2(x^2-4x+3) \cdot (2x-4)=0$$

ger alltså följande ekvationer:

$$\begin{align}& \text{Fall 1: } 2(x^2-4x+3)=0 \\ & \text{Fall 2: } (2x-4)=0 \end{align}$$

Fall 1:

$$\begin{align} 2(x^2-4x+3) & =0 \\ (x^2-4x+3) & =0 \end{align}$$

Vi använder oss av pq-formeln:

$$\begin {align} & x=\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2-3} \\ & x=2 \pm \sqrt{4-3} \\ & x= 2\pm 1 \\ & x_1=1 \\ & x_2=3 \end{align}$$

Fall 2:

$$2x-4=0 \implies x_3=2$$

Vi har alltså hittat tre nollställen till funktionen:

$$\begin{align} x_1 & = 1 \\ x_2 & = 3 \\ x_3 & = 2 \end{align}$$

Vi har alltså hittat att derivatan är noll i punkten då \(x=2\), vilket betyder att kurvan är en vågrät tangent i denna punkt. Eftersom vi hittade två nollställen till betyder det att kurvan även har två vågräta tangenter till i punkterna då \(x=1\) och \(x=3\).

För att hitta ekvationen för den vågräta tangenten i punkten då \(x\)-koordinaten är 2, sätter vi in \(x=2\) i funktionen \(y=(x^2-4x+3)^2+1\):

$$\begin{align}y & = (2^2-4\cdot 2+3)^2+1 \\ y & =(4-8+3)^2+1 \\ y & = (-1)^2+1 \\ y & = 2 \end{align}$$

Tangentens ekvation i punkten \((2,2)\) är alltså \(y=2\). Vi kan räkna tangentens ekvation på detta sätt eftersom vi vet att tangenten i denna punkt är en vågrät linje. Vet man inte det kan man räkna ut tangentens ekvation genom följande formel:

$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$