Derivatan av y = cos^(-1) x

Beräkna derivatan y'(x) då

$$\\y(x) = cos^{-1}x\\$$

Lösningsförslag:

$$\\y=cos^{-1}\,x\Rightarrow cos\,y=x\\$$

Derivera med avseende på x:

$$\\\frac{d}{dx}cos\,y=\frac{d}{dx}x\\\\\frac{d}{dx}cos\,y=1\\$$

Genom att sätta u = cosy kan vi beräkna derivatan med hjälp av kedjeregeln:

$$\\\frac{d}{dx}u(y(x))=1\\\\u'(y(x))\cdot y'(x)=1\\$$

$$\\u'(x)=\frac{d}{dy}cos\,y=-sin\,y\\\\-sin\,y\cdot y'(x)=1\\\\y'(x)=-\frac{1}{sin\,y}\\\\\left \{ y=cos^{-1}\,x \right \}\\\\y'(x)=-\frac{1}{sin(cos^{-1}\,x)}\\$$

För att bestämma sin(cos^-1x) använder vi oss av en rätvinklig triangel:

$$\\cos\,v=\frac{x}{1}\\\\v=cos^{-1}x\\\\sin(cos^{-1}\,x)=sin\,v=\frac{z}{1}\\\\\left \{ Pythagoras\;sats \right \}\\\\x^{2}+z^{2}=1^{2}\\\\z^{2}=1-x^{2}\\\\z=\sqrt{1-x^{2}},\;z>0\\\\sin\,v=z=\sqrt{1-x^{2}}\\$$

Slutligen får vi då:

$$\\y'(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\\\\\frac{d}{dx}cos^{-1}x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}\\$$