Derivatan av y = sin^(-1) x

Beräkna derivatan y'(x) då

$$\\y(x) = sin^{-1}x\\$$

Lösningsförslag:

$$\\y=sin^{-1}x\Rightarrow sin\,y=x\\$$

Derivera med avseende på x:

$$\\\frac{d}{dx}sin\,y=\frac{d}{dx}x\\\\\frac{d}{dx}sin\,y=1\\$$

Genom att sätta u = siny kan vi beräkna derivatan med hjälp av kedjeregeln:

$$\\\frac{d}{dx}u(y(x))=1\\\\u'(y(x))\cdot y'(x)=1\\$$

$$\\u'(y)=\frac{d}{dy}u=\frac{d}{dy}sin\,y=cos\,y\\\\cos\,y\cdot y'(x)=1\\\\y'(x)=\frac{1}{cos\,y}\\$$

Detta kan vi genom trigonometriska ettan ($$\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$$) skriva om till:

$$\\y'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-\sin ^{2}y}}\\$$

Tidigare hade vi kommit fram till att sin(y) = x, alltså kan vi skriva om ovanstående till:

$$\\y'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\\$$

Slutligen får vi då:

$$\\y'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\\\\\frac{d}{dx}sin^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\\$$