Omkrets för månghörning

En cirkel kan ses som en regelbunden månghörning med oändligt antal hörn och har en omkrets O = 2πr där r = radien. Visa att omkretsen för en regelbunden månghörning går mot 2πr då antalet hörn går mot oändligheten och r = avståndet från mittpunkten till respektive hörn.

Du får använda dig av att ett varv är 2π radianer och att för små x gäller att

$$\\sin\,x\approx x-\frac{x^{3}}{3!}=x-\frac{x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}=x-\frac{x^{3}}{6}\\$$

Lösningsförslag:

Vi räknar ut omkretsen för en regelbunden månghörning med n stycken hörn och avståndet r från mittpunkten till respektive hörn.

Vi kan dela upp månghörningen i n stycken trianglar där den minsta vinkeln är 2π/n. Två sidor är r långa och en är s lång, d.v.s. månghörningens omkrets är alltså s∙n.

Om vi delar varje triangel i två delar så får vi 2n stycken rätvinkliga trianglar där minsta vinkeln är π/n, hypotenusan är r och den kortare sidan är s/2.

Vi får då:

$$sin\,\frac{\pi }{n}=\frac{s\div 2}{r} \\ s=2rsin\,\frac{\pi}{n}$$

Månghörningens omkrets:

$$\\O_{n}=s\cdot n=2rnsin\,\frac{\pi}{n}\\$$

Eftersom π/n är litet då n är stort kan vi använda utvecklingen av sin x:

$$\\O_{n}=2rn\left ( \frac{\pi}{n}-\left ( \frac{\pi}{n}^{3} \right )\cdot \frac{1}{6} \right )=2\pi r-\frac{\pi^{3}}{3n^{2}}r\\$$

När n går mot oändligheten (∞) går den andra termen mot noll, d.v.s.

$$\\O_{n}=O=2\pi r\\$$

V.S.V.

Kommentar: Vi noterar att den andra termen i uttrycket är negativ, vilket innebär att omkretsen för en månghörning med n hörn alltid är kortare än omkretsen för motsvarande cirkel. Dessutom blir omkretsen successivt större när antalet hörn ökar.