Tangentens Ekvation

\(A\) är en punkt med koordinaterna \((a,a^2)\) som ligger på kurvan \(y=x^2\). Beräkna tangentens ekvation till kurvan som går igenom punkten \(A\) och punkten \(\left(\frac{1}{2},-2\right)\). Rita upp kurvan \(y=x^2\) och den funna tangenten i ett koordinatsystem.

Lösningsförslag:

Vi letar efter en tangent till funktionen \(y=x^2\) som går igenom punkten \(A=(a,a^2)\) och \(\left(\frac{1}{2},-2\right)\). Eftersom vi har en andragradsfunktion vet vi att tangenten kommer att vara en rät linje, \(y=kx+m\). Vi börjar med att hitta \(k\)-värdet till funktionen, som enklast tas fram genom att derivera \(y=x^2\): 

$$y'=2x$$

Derivatan beskriver lutningen, vilket är just \(k\)-värdet. Vi behöver endast stoppa in \(x\)-värdet i punkten \(A\) i derivatan för att få fram \(k\)-värdet:

$$x=a \implies k=2a$$

För att beräkna värdet på \(a\) kan vi använda oss av formeln för riktningskoefficienten:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Vi använder oss av de två punkterna vi har och stoppar in dem i ekvationen:

$$\begin{align} 2a = & \frac{a^2-(-2)}{a-\frac{1}{2}} \\ 2a = & \frac{a^2+2}{\frac{2a-1}{2}}\\ 2a = & \frac{2(a^2+2)}{2a-1} \\ 2a(2a-1)= & 2(a^2+2) \\ 4a^2-2a = & 2a^2+4 \\ 2a^2-2a-4= & 0 \\ a^2-a-2 = & 0 \end{align}$$

Nu kan vi använda oss av pq-formeln för att lösa ut \(a\):

$$\begin{align}a & =\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+2} \\ a & = \frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{8}{4}} \\ a & = \frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}} \\ a & = \frac{1}{2}\pm\frac{3}{2}\end{align}$$

Vi får alltså två lösningar på \(a\):

$$\begin{align} a_1 & =-1 \\ a_2 & =2\end{align}$$

Att vi får fram två lösningar till \(a\) betyder att det finns två tangenter som skär kurvan \(y=x^2\) och punkten \(\left(\frac{1}{2},2\right)\), det finns alltså två punkter \(A=(a,a^2)\). Dessa är:

$$\begin{align} a_1 & = -1 \implies A_1=(-1,1) \\ a_2 & = 2 \implies A_2=(2,4)\end{align}$$

Tangentens funktion till kurvan som går igenom punkten \(A_1\) och \(A_2\) måste vi nu räkna ut. Vi börjar med den som går igenom \(A_1\). Vi ska hitta \(k\)-värdet och \(m\)-värdet. Vi vet från början av uträkningen att \(k=2a\), vi får:

$$k=2\cdot (-1)=-2$$

Vi stoppar in punkten \(A_1\) och \(k\)-värdet i ekvationen \(y=kx+m\) för att hitta \(m\)-värdet:

$$1=(-2)\cdot(-1)+m \implies m=-1$$

Vi får således att tangentens funktion är: \(y=-2x-1\).

För att hitta tangenten till kurvan i punkten \(A_2\) gör vi på liknande sätt:

$$k=2a \implies k=2\cdot2=4$$

$$y=kx+m \implies 4=4\cdot2+m \implies m=-4$$

Vi får således att den andra tangentens funktion är: \(y=4x-4\).

För att rita in tangenterna och funktionen i ett koordinatsystem är det lättast att göra en värdetabell för funktion \(y=x^2\) och att pricka in dessa punkter, samt punkterna \(A_1\), \(A_2\) och \(\left(\frac{1}{2},2\right)\). Vi börjar med värdetabellen:

Nu stoppar vi in alla punkter och drar ut linjerna mellan dem. Den blåa linjen är för \(y=x^2\), de gröna är tangenterna.