Differentialekvationer

I Matte 4-kursen lärde vi oss en hel del om hur vi beräknar funktioners derivata och stötte även på differentialekvationer.

I det här kapitlet kommer vi att fördjupa oss i hur vi kan lösa vissa vanligt förekommande typer av differentialekvationer. Inledningsvis ska vi därför kortfattat repetera vad en differentialekvation är och vad det innebär att hitta en lösning till en sådan ekvation, samt introducera Leibniz notation för derivator.

Differentialekvationer

När man studerar naturvetenskapliga fenomen inom till exempel fysiken använder man vanligtvis matematiska modeller. Dessa matematiska modeller inkluderar ofta samband mellan en okänd funktion och funktionens derivator av olika ordning. För att uttrycka sådana samband använder man sig av differentialekvationer. En differentialekvation är en ekvation som beskriver ett samband som innehåller en eller flera derivator till en funktion.

Ett exempel på en differentialekvation är

$$y'(x)=k\cdot y(x)$$

där förändringshastigheten y'(x) beror på funktionsvärdet y(x) multiplicerat med en viss proportionalitetskonstant k. Denna differentialekvation kan till exempel beskriva hur tillväxttakten av bakterier i en bakterieodling, y'(x), är proportionell mot antalet bakterier som finns i odlingen, y(x).

Den differentialekvation som vi tecknade ovan kallas en differentialekvation av första ordningen, eftersom den högsta derivata som förekommer i ekvationen är y'(x), en förstaderivata. Hade differentialekvationen innehållit en andraderivata, y''(x), som högsta derivata, då hade differentialekvationen varit av andra ordningen, och så vidare. Allmänt gäller alltså att den högsta förekommande derivatan bestämmer vilken ordning differentialekvationen har.

Nedan har vi exempel på en differentialekvation av första ordningen och en differentialekvation av andra ordningen, där termerna är samlade i det vänstra ledet:

$$y'-4y=0$$

$$y''+3y'+5y=0$$

Leibniz notation

Hittills har vi till exempel skrivit y'(x) när vi menar förstaderivatan av funktionen y = f(x), y''(x) när vi menar andraderivatan, och så vidare. Denna notation vad gäller derivator kallas Lagranges notation, döpt efter den franske matematikern Comte Joseph Louis Lagrange

Ofta när man har att göra med differentialekvationer använder man sig emellertid av en annan notation för derivator, kallad Leibniz notation, döpt efter tyska filosofen och matematikern Gottfried Wilhelm Leibniz. När vi avser första- respektive andraderivatan har vi följande sätt att skriva med hjälp av Lagranges notation och Leibniz notation:

$$y'(x)=\frac{dy}{dx}$$

$$y''(x)=\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}$$

Nedan har vi ett exempel, där vi har skrivit samma differentialekvationer av andra ordningen dels med Lagrange notation och dels med Leibniz notation:

$$y''+3y'+5y=0$$

$$\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}+3\frac{dy}{dx}+5y=0$$

Att använda Leibniz notation kan uppfattas som mer omständigt än Lagrange notation, men den kan ändå underlätta vissa beräkningar och är så vanligt förekommande att man bör vänja sig vid denna notation.

Differentialekvationers lösningar

Att lösa en differentialekvation innebär att vi finner en eller flera funktioner som gör att differentialekvationens båda led blir lika (vi säger att funktionen satisfierar differentialekvationen).

I exemplet med differentialekvationen

$$y'(x)=k\cdot y(x)$$

innebär därför en lösning att vi hittar en funktion y(x) som gör att denna funktions derivata y'(x) blir lika med k∙y(x). En differentialekvation har typiskt fler än en lösning och i sådana fall vill vi kunna hitta samtliga lösningar till differentialekvationen.

En differentialekvation som skrivs på formen

$$y'(x)=k\cdot y(x)$$

kommer att satisfieras av funktioner som kan skrivas

$$y(x)=C\cdot {e}^{kx}$$

där C och k är konstanter.

Att funktioner skrivna på denna form är lösningar till differentialekvationen kan vi verifiera genom att derivera funktionen och sedan sätta in funktionen och funktionens förstaderivata i ekvationen.

Vi deriverar funktionen och får följande förstaderivata enligt deriveringsreglerna för exponentialfunktioner.

$$y'(x)=k\cdot C\cdot {e}^{kx}$$

Genom insättning i differentialekvationen får vi

$$y'(x)=k\cdot y(x)$$

$$k\cdot C\cdot {e}^{kx}=k\cdot (C\cdot {e}^{kx})$$

Eftersom differentialekvationens båda led blev lika satisfierar dessa funktioner ekvationen.

Som vi tidigare har nämnt finns det typiskt flera funktioner som satisfierar en differentialekvation. I vårt exempel ovan kunde vi skriva lösningarna på formen

$$y(x)=C\cdot {e}^{kx}$$

Detta funktionsuttryck innehåller den okända konstanten C. Beroende på vilket värde vi ger C får vi olika funktioner y(x). Samtliga dessa funktioner kommer dock att vara lösningar till differentialekvationen. Därför är till exempel följande funktioner, som endast skiljer sig åt vad gäller värdet på konstanten C, var för sig lösningar till differentialekvationen:

$$y(x)=2\cdot {e}^{kx}$$

$$y(x)=-5\cdot {e}^{kx}$$


Videolektion

Har du en fråga du vill ställa om Differentialekvationer? Ställ den i Mattebokens forum!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!