Delbarhet

Redan i Matte 1-kursen undersökte vi delbarhet.

Ett heltal a sägs vara delbart med ett heltal b (b ≠ 0), om kvoten a/b blir ett heltal c. Det är samma sak som att resten blir noll när a divideras med b.

Om a är delbart med b, säger vi att b är en delare i a.

Till exempel är heltalet 12 delbart med 3, eftersom kvoten 12/3 är lika med heltalet 4. Heltalet 4 är därför en delare i 12. Däremot är till exempel heltalet 7 inte en delare i 12, eftersom kvoten 12/7 inte är ett heltal.

Vi skriver att b är en delare i a så här:

$$b\,|\,a$$

Till exempel gäller att 3 är en delare i 12, så vi kan därför skriva

$$3\,|\,12$$

Faktorisering och primtal

Att ett heltal b är en delare i ett heltal a innebär även att vi kan faktorisera talet a på ett sådant sätt att talet b är en faktor i a.

Till exempel är 3 en delare i 12, vilket innebär att vi kan faktorisera talet 12 genom att ha med en faktor 3, eftersom

$$12=3\cdot 4$$

Vi kan finna alla delare i ett tal genom att först primtalsfaktorisera talet. En primtalsfaktorisering innebär helt enkelt att vi skriver talet som en produkt av faktorer som alla är primtal. Även primtalen har vi stött på tidigare, i Matte 1-kursen.

Till exempel kan vi primtalsfaktorisera talet 12 med hjälp av primtalen 2 och 3, så här:

$$12=2\cdot 2\cdot 3$$

Detta är det enda sättet som vi kan primtalsfaktorisera talet 12. I själva verket finns det bara ett enda sätt att primtalsfaktorisera ett givet heltal.

För att sedan ta reda på alla positiva delare i 12, kombinerar vi dessa primtalsfaktorer på alla sätt som är möjliga:

Talen 2 och 3 är delare i 12, eftersom vi kan primtalsfaktorisera 12 med hjälp av dem.

Talen 4, 6 och 12 är även de delare i 12, eftersom dessa tal utgör produkten av olika tillåtna kombinationer av primtalsfaktorerna 2 och 3:

$$4=2\cdot 2$$

$$6=2\cdot 3$$

$$12=2\cdot 2\cdot 3$$

Även talet 1 är en delare i 12, eftersom alla heltal är delbara med talet 1.

På detta sätt kan vi med hjälp av primtalsfaktorisering ta reda på alla delare i ett givet tal.


Ange alla positiva delare i talet 70.

För att lösa denna uppgift primtalsfaktoriserar vi först talet 70, vilket vi kan göra steg för steg, till dess att vårt uttryck bara består av primtalsfaktorer:

$$70=10\cdot 7=2\cdot 5\cdot 7$$

Talet 70 primtalsfaktoriserar vi alltså med hjälp av primtalen 2, 5 och 7.

Primtalen 2, 5 och 7 är därför vart och ett delare i talet 70.

Vi hittar lätt övriga delare i 70 genom att kombinera dessa tre primtal:

$$10=2\cdot 5$$

$$14=2\cdot 7$$

$$35=5\cdot 7$$

$$70=2\cdot 5\cdot 7$$

Utöver dessa delare har vi som vanligt även delaren 1.

De positiva tal som är delare i 70 är alltså 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 och 70.


Kvot och rest

När vi undersökte delbarhet ovan var vi bara intresserade de fall då kvoten mellan två heltal a och b blev ett heltal c.

Ett exempel på detta är kvoten 12/3, som är lika med 4.

Kvoten 12/7 är däremot inte ett heltal. Vi kan skriva denna kvot i blandad form:

$$\frac{12}{7}=\frac{7}{7}+\frac{5}{7}=1\frac{5}{7}$$

Ett annat sätt att skriva 12/7 är med hjälp av begreppen kvot och rest. Talet 7 går en gång i talet 12 och sedan återstår resten 5, vilket vi kan skriva så här:

$$\frac{12}{7}=1\text{ rest }5$$

Eller på det här viset:

$$12=1\cdot 7+5$$

Allmänt gäller att om vi har två heltal a och b (b ≠ 0), så kan kvoten a/b skrivas

$$\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}$$

där q är kvoten och r är resten. Om resten r = 0 så är b en delare i a.

Genom att multiplicera båda leden med talet b får vi det på samma form som tidigare:

$$a=b\cdot q +r$$

Att vara bekant med begreppen kvot och rest kommer vi att ha användning för i nästa avsnitt, när vi undersöker vad kongruens innebär.


Videolektion

Har du en fråga du vill ställa om Delbarhet? Ställ den i Mattebokens forum!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!