Kongruens

När vi använder en vanlig analog klocka kommer klockans timvisare att peka på samma värde var 12:e timme. Om timvisaren till exempel pekar på värdet 3, då kommer den åter att peka på värdet 3 efter att ytterligare 12 timmar har gått.

Detta kan vi se som att 3 + 12 ska ge resultatet 3 när vi räknar med klockans timvisare, men vi vet ju även att summan av 3 och 12 är lika med 15. Hur går detta ihop?

Det värde som klockans timvisare pekar på i detta exempel, 3, är i själva verket den rest som vi får när vi dividerar summan av 3 och 12 med talet 12, eftersom

$$\frac{3+12}{12}=\frac{15}{12}=1\text{ rest }3$$

Dividerar vi 3 med 12 får vi en annan kvot, men samma rest:

$$\frac{3}{12}=0\text{ rest }3$$

Att på detta sätt intressera sig för vad resten blir vid heltalsdivision kallas kongruensräkning.

Om två heltal a och b får samma rest när vi dividerar dem med ett visst heltal n, säger vi att talen a och b är kongruenta modulo n.

I vårt exempel ovan gäller alltså att 3 och 15 är kongruenta modulo 12, eftersom såväl 3 som 15 får resten 3 vid division med 12. Om vi skulle fortsätta att addera 12 till 15, så kommer vi fram till ytterligare tal som är kongruenta modulo 12 med talen 3 och 15: de närmast efterföljande talen är 27, 39, 51, och så vidare i oändligheten.

Att två heltal a och b är kongruenta modulo n skriver vi

$$a\equiv b \pmod{n}$$

Därför skriver vi till exempel att talen 3 och 15 är kongruenta modulo 12 så här:

$$3\equiv 15\,\pmod{12}$$

En egenskap som följer av definitionen av kongruens är att differensen mellan två kongruenta tal modulo n, är delbar med n. Till exempel är 27 och 3 kongruenta modulo 12, och differensen

$$27-3=24$$

är delbar med 12.

Ett annat sätt att uttrycka detta är att differensen mellan två tal som är kongruenta modulo n är en multipel av n. Med detta menar vi att differensen kan skrivas som en produkt av heltalsfaktorer där talet n ingår som en faktor. Till exempel är differensen 24 en multipel av 12, eftersom vi kan skriva 24 som produkten av 2 och 12:

$$24=2\cdot 12$$


Hitta fyra tal som är kongruenta modulo 3.

Att de fyra talen är kongruenta modulo 3 innebär att resten vid heltalsdivision med 3 ska vara densamma för alla tre talen. Det finns tre olika rester som vi kan få vid heltalsdivision med 3: vi kan få resten 0, 1 eller 2.

Ett första tal som vi kan välja är talet 0. Då vi dividerar 0 med 3 får vi resten 0.

I nästa steg ska vi alltså hitta tre ytterligare tal som har resten 0 vid division med 3.

Det gör vi enklast genom att vi utgår från vårt valda tal 0 och sedan adderar en multipel av talet 3. De tre första tal som vi då stöter på är 3, 6 och 9:

$$0+1\cdot 3=3$$

$$0+2\cdot 3=6$$

$$0+3\cdot 3=9$$

Talen 0, 3, 6 och 9 är alltså kongruenta modulo 3. Vi kan enkelt kontrollräkna att vart och ett av dessa tal får resten 0 vid division med 3.

Detta är bara ett möjligt sätt att lösa uppgiften. Vi hade kunnat välja några andra tal som är kongruenta med 0 modulo 3 (till exempel 12, 15, 18, etc.).

Det hade även gått bra att välja att utgå från resten 1 eller 2, vilket hade kunnat ge oss till exempel lösningar i form av talen 1, 4, 7 och 10 (vid rest 1), respektive talen 2, 5, 8 och 11 (vid rest 2).


Uttryck följande påståenden enligt skrivsättet

$$a\equiv b\,\pmod{n}$$

  1. Differensen mellan 34 och 6 är en multipel av 7.
  2. Talen 34 och 6 ger samma rest vid division med 4.

Hur tolkar vi resultaten från a) och b) tillsammans?

Lösningsförslag

  1. Att differensen mellan 34 och 6 är en multipel av 7 innebär att vi kan skriva differensen$$34-6=28$$som en produkt med hjälp av en faktor 7. Det kan vi göra så här:$$28=4\cdot 7$$Detta innebär att differensen 28 är delbart med 7. Därför är resten då vi dividerar 34 med 6 respektive 7 densamma (resten blir i båda fallen lika med 6). Därför är talen 34 och 6 kongruenta modulo 7, vilket vi skriver$$34\equiv 6\,\pmod{7}$$

  2. Att talen 34 och 6 ger samma rest vid division med 4 (resten blir i båda fallen 2) innebär att talen 34 och 6 är kongruenta modulo 4, vilket vi kan skriva:$$34\equiv 6\,\pmod{4}$$

I deluppgifterna a) och b) kom vi alltså fram till att talen 34 och 6 är kongruenta modulo 7 och modulo 4. Hur förklarar vi detta?

Jo, vad detta innebär är att differensen mellan talen 34 och 6, det vill säga 28, är delbar med såväl 7 som 4.


Kan du komma på ytterligare något tal n där det gäller att talen 34 och 6 är kongruenta modulo n?

I nästa avsnitt kommer vi att titta närmare på några av de räkneregler som gäller vid kongruensräkning. Vi kommer då att märka att kunskap om kongruensräkning kan förenkla våra beräkningar i vissa situationer.


Videolektion

Har du en fråga du vill ställa om Kongruens? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!