Begreppet mängd

I det här avsnittet bekantar vi oss med begreppet mängd. Vi introducerar i samband med detta olika sätt att beskriva mängder, som används i denna kurs och som är viktiga att kunna vid högre matematiska studier.

Mängder

Det finns många situationer då vi kan vilja samla ett antal objekt av någon typ och ge objekten en gemensam beteckning. Det kan röra sig om objekt i form av tal, ord, bokstäver, personer, färger eller något annat (i det här sammanhanget kommer vi dock främst behandla tal). Vi kan då samla objekten i något som vi kallar en mängd. Ett objekt som finns i en mängd kallar vi ett element.

Det finns tre vanliga sätt som vi kan använda för att beskriva vilka element som ingår i en mängd.

Det första sättet är att beskriva mängden med hjälp av text. Till exempel kan vi beskriva en mängd A genom texten "A är mängden av alla heltal större än 3." Ibland fungerar detta bra, men särskilt när vi har att göra med komplicerade mängder riskerar texten att bli lång och/eller invecklad, och risken finns att det kan uppstå tolkningsproblem.

Det andra sättet att beskriva en mängd är genom en uppräkning av elementen som ingår i mängden. Till exempel kan vi göra denna uppräkning för mängden A, som består av alla positiva heltal större än eller lika med 3, på följande sätt:

$$A=\{3,\,4,\,5,\,...\}$$

När vi här ovan skrev "..." i slutet av uppräkningen menar vi att talföljden fortsätter enligt samma mönster även fortsättningsvis. En nackdel som finns med att beskriva mängder med uppräkning är att det inte alltid är uppenbart vilket mönster som de uppräknade talen följer. I en del andra fall följer inte elementen i en mängd något särskilt mönster och i dessa fall passar det bra att beskriva mängden med uppräkning.

Det tredje sättet att beskriva mängden A är med en mängdbyggare. Samma mängd A som vi tidigare beskrivit, kan vi med hjälp av en mängdbyggare beskriva så här:

$$A=\{x\,|\,x\ge 3\,och\,x\,\ddot{a}r\,ett\,heltal\}$$

Detta kan vi utläsa som att "A är mängden av alla x, där x är större än eller lika med 3 och x är ett heltal". Beskriver vi en mängd med hjälp av en mängdbyggare har vi en beskrivning av elementen som uttryckligen talar om för oss vilka villkor som gäller för att ett element ska ingå i mängden.

Att ett element x ingår i en mängd A kan vi skriva

$$x\in A$$

och att ett element x inte ingår i A kan vi skriva så här:

$$x\notin A$$

Utifrån vårt tidigare exempel, där A utgörs av alla heltal större än eller lika med 3, kan vi till exempel skriva följande:

$$4\in A$$

$$2\notin A$$

Delmängder

Att en mängd B är en delmängd av en mängd A innebär att alla element som mängden B innehåller också finns i mängden A. Att B är en delmängd av A kan vi skriva så här:

$$B\subseteq A$$

Ett exempel på detta är om vi har följande mängder A och B:

$$A=\{1,\,2,\,3,\,4,\,5\}$$

$$B=\{2,\,3\}$$

I detta fall innehåller mängden B de båda elementen 2 och 3, vilka båda även finns i mängden A. Därför är B en delmängd av A.

Däremot är inte mängden A en delmängd av mängden B, eftersom mängden A innehåller elementen 1, 4 och 5, som inte finns i mängden B. Att mängden A inte är en delmängd av mängden B kan vi skriva så här:

$$A\nsubseteq B$$

Om mängden B innehåller alla element som finns i en mängd A och inga ytterligare element, då kan vi skriva det på detta sätt:

$$A=B$$

Från vår tidigare definition av delmängd vet vi att om A = B gäller, då är A en delmängd av B och B en delmängd av A.

Om mängden B är en delmängd av mängden A, men  A innehåller något element som inte finns i B, då kallar vi mängden B en äkta delmängd av mängden A. Detta gäller alltså då B är en delmängd av A, men A inte är en delmängd av B. I vårt tidigare exempel, där A = {1, 2, 3, 4, 5} och B = {2, 3}, gäller att B är en äkta delmängd av A, eftersom A innehåller tre element som inte finns i B.

Att B är en äkta delmängd av A kan vi skriva så här:

$$B\subset A$$

Det finns en mängd som är delmängd av alla mängder - det är den tomma mängden, den mängd som inte innehåller några element, som vi skriver så här:

$$\varnothing =\{\,\}$$

Ange alla delmängder av mängden A = {a, b, c}.

Delmängderna av A kommer att innehålla noll, ett, två eller tre av elementen som finns i A.

Den tomma mängden är delmängd av alla mängder, så Ø = { } är en delmängd av A. Detta är den delmängd som innehåller 0 element som finns i A.

Även den mängd som består av exakt de tre element som finns i A är en delmängd av A, det vill säga {a, b, c}.

Vi inser också att det finns tre mängder, som innehåller exakt ett element som finns i A: {a}, {b} och {c}. Dessa tre mängder är var och en delmängder av A.

Slutligen har vi de mängder som innehåller exakt två element som finns i A: {a, b}, {a, c} och {b, c}. Även dessa är givetvis delmängder av A.

Samtliga delmängder av A är därför följande mängder:

$$\varnothing ,\,\{a\},\,\{b\},\,\{c\},\,\{a,\,b\},\,\{a,\,c\},\,\{b,\,c\},\,\{a,\,b,\,c\}$$

Av dessa är samtliga förutom den sista, {a, b, c}, äkta delmängder av A.

Kardinalitet

Kardinaliteten hos en mängd A är ett tal som beskriver antalet element i A. Kardinaliteten hos mängden A kan betecknas |A|.

Om vi till exempel har en mängd A = {1, 2, 5}, innehåller denna mängd tre element och vi skriver kardinaliteten hos mängden A så här:

$$\left | A \right |=3$$

Antalet element som en mängd innehåller kallar vi mängdens kardinalitet och antalet element i en specifik mängd anger vi med hjälp av ett kardinaltal.

Viktiga talmängder

Redan i Matte 1-kursen stötte vi på ett antal olika typer av tal. Dessa olika talmängder är så viktiga inom matematiken att de har fått speciella symboler. Vi går här igenom dessa viktiga talmängder och hur de kan beskrivas utifrån vad vi lärt oss tidigare i detta avsnitt.

Naturliga tal:

$$\mathbb{N}=\{0,\,1,\,2,\,3,\,...\}$$

Heltal:

$$\mathbb{Z}=\{...,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,...\}$$

Bråktal (rationella tal):

$$\mathbb{Q}=\left \{ \frac{a}{b}\,|\,a,b \in \mathbb{Z}\,och\,b\neq 0 \right \}$$

(Vilket vi tolkar som "alla bråk a/b, där a och b är heltal och b inte är lika med noll". Alla heltal kan skrivas som rationella tal genom att nämnaren är lika med ett.)

Reella tal:

$$\mathbb{R}= \text{ alla rationella tal och irrationella tal (t.ex. } \sqrt{2}, e, \frac{31}{4} \text{ och } \pi)$$

Komplexa tal:

$$\mathbb{C}=\left \{ a+bi\,|\,a,\,b\in \mathbb{R} \right \}$$

(Vilket vi tolkar som "alla tal a + bi, där a och b är reella tal". Alla reella tal kan även skrivas som komplexa tal genom att vi låter imaginärdelen b vara lika med noll.)

När vi nu har infört beteckningar för dessa vanligt förekommande talmängder, kan vi skriva att ett visst tal x till exempel tillhör de naturliga talen så här:

$$x \in \mathbb{N}$$

I början av avsnittet tog vi upp ett exempel där mängden A består av alla heltal som är större än eller lika med 3. Med den notation som vi nu har infört kan vi beskriva denna mängd med hjälp av mängdbyggare, på följande kompakta sätt:

$$A=\{x\,|\,x\ge 3\,och\,x\in \mathbb{Z}\}$$

De viktiga talmängder som vi har tagit upp i det här avsnittet (talmängderna \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R} \text{ och } \mathbb{C}\)) är alla exempel på oändliga mängder, eftersom var och en av dessa mängder innehåller oändligt många element.

Vi vet att alla naturliga tal även är heltal, men att alla heltal inte är naturliga tal. Det innebär att de naturliga talen, \(\mathbb{N}\), är en äkta delmängd till heltalen, \(\mathbb{Z}\). I det här fallet betyder det dock inte att \(\mathbb{Z}\) är en större mängd, för de är båda lika stora - oändligt stora. 

På motsvarande sätt är heltalen, \(\mathbb{Z}\), en äkta delmängd till de rationella talen, \(\mathbb{Q}\), som i sin tur är en äkta delmängd av de reella talen, \(\mathbb{R}\), som i sin tur är en äkta delmängd av de komplexa talen, \(\mathbb{C}\). Vi kan skriva detta på följande sätt:

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$$

Det är däremot så att mängderna av reella tal och komplexa tal, \(\mathbb{R}\) och \(\mathbb{C}\), faktiskt är större än \(\mathbb{N}, \mathbb{Z}\) och \(\mathbb{Q}\) (trots att alla dessa mängder är oändliga) vilket upptäcktes för bara lite mer än 100 år sedan.

I nästa avsnitt kommer vi att undersöka hur vi med hjälp av mängdoperationer kan ange till exempel "alla element som ingår i A eller B" eller "alla element som ingår i A, men inte i B".