Det skulle vara praktiskt om vi på något sätt kunde ange hur en
kurva lutar i en punkt. För en punkt i sig själv ger oss inte mer
information än ett x-värde och ett y-värde. Hur vet vi hur kurvan
går i den undersökta punkten? Är kurvan på väg uppåt eller neråt,
eller kanske mitt i en vändning? Många gånger är detta viktig
information.
I ovanstående funktion f(x), ser vi att det inte bara är
punkternas positioner på kurvan som skiljer sig, utan även kurvans
lutning i punkterna skiljer sig. I (a) är kurvan dalande. I (b) är
kurvan ökande precis efter en vändning. Och i (c) är kurvan också
ökande.
Nu ska vi gå igenom ett sätt att beräkna lutningen på kurvan, i en
punkt. Börja med att minnas att en rät linje hade en koefficient
som beskrev linjens lutning. Koefficienten, eller k-värdet som vi
också kallar det räknades ut genom formeln:
Vi ska nu undersöka lutningen i (b) och börjar med att placera
ut en ny punkt i närheten av (b). Vi kallar punkten för (x):
Vi har nu två stycken punkter med två olika koordinater. Om vi
binder ihop punkterna med en rät linje, kommer denna linje att få
lutningen:
Nu ska vi sätta in värden på x- och y-koordinaterna. Vi läser av
och ger (b) x-koordinaten 2 och y-koordinaten låter vi bara vara
f(2). Punkten (x) är godtycklig och får bara x-koordinaten x och
y-koordinaten f(x):
Nu blir k-värdet:
Denna nya kvot kallas för ändringskvot. Den fungerar
precis likadant som vanliga k-värdes-formeln, men med andra
benämningar på koordinaterna. Vad händer nu om vi flyttar punkten
(x) närmare punkten (b)?
Jo det som händer är att linjen mellan punkterna får en annan
lutning (Koefficienten förändras). Jämför med hur lutningen var i
förra figuren. Om vi fortsätter att flytta (x) närmare och närmare
(b) så kommer vi till slut få ett så litet avstånd mellan punkterna
att detta blir närmast obefintligt. Samtidigt ändras lutningen mer
och mer - och justeras, och anpassas, efter en väldigt kort sträcka
alldeles närmast punkten (b). Man skulle nästan kunna säga att man
får en lutning som endast mäts över punkten (b)!
Att punkten (x) närmar sig x=2 på detta sätt beskriver man
som:
Detta utläses "x går mot 2". Slutligen kommer punkten (x) så
nära (b) att den "snuddar", eller tangerar (b). Vi har
kommit till det som kallas gränsläget. Mellan punkterna
blir det en linje som tangerar kurvan i (b).
