Ett vanligt problem

Ett av de allra vanligaste problemen som alltid, i någon form, dyker upp på ett prov har följande struktur:

Exempel: Vi ska sätta upp ett staket och har 200 meter stängsel till vårt förfogande. Inhägnaden ska bilda en rektangel eller kvadrat. Hur långa ska sidorna vara för att vi ska få så stor area som möjligt? Vilken blir arean?

Lösning:

Arean: $A=b\cdot h$

Omkretsen: $b\cdot 2+h\cdot 2=200$

$\Rightarrow b=\frac{200-2h}{2}=100-h$

Vi sätter in 100-h istället för b i första uttrycket:

$A=100h-h^{2}$

Beroende på vad vi sätter in som h-värde kommer vi få ut olika A. Vi har med andra ord en funktion:

$A(h)=100h-h^{2}$

Grafen till denna funktion ser ut enligt följande:

Ett vanligt problem
Vilket värde kan A högst ha? Vi kan titta i grafen och se att det högsta värdet är y=2500 vid x=50.

Men vi ska också för säkerhets skull lösa problemet algebraiskt:

Om vi deriverar uttrycket och sedan sätter A'(h)=0 får vi ut extremvärden:

$\\A{}'(h)=100-2h\\ 0=100-2h\Rightarrow h=50$

Vi har ett extremvärde i h=50! Vi kollar, genom andraderivatan, vilken typ av extremvärde detta är:

$\\A{}''(h)=-2\\ A{}''(50)=-2\Rightarrow -$

Andraderivatan gav ett negativt svar, vilket betyder att kurvan är "ledsen". Detta betyder att det är ett maximivärde vi hittat! Den största Arean fås när höjden på stängsel-rektangeln är 50 meter:

$A(50)=100\cdot 50-50^{2}=2500$

Den största arean blir 2500 m².

Vi vet höjden och arean, men inte basen. Basen beräknas genom att sätta in A och h i areaformeln:

$\\A=b\cdot h\Rightarrow 2500=50\cdot b\Rightarrow b=\frac{2500}{50}=50\\\\ h=50m\\ b=50m\\\\ A=2500m^{2}$

Vi fick alltså denna gång en kvadratisk inhägnad. Detta kanske kändes uppenbart, men vi kan inte gissa och utgå från att svaret skulle blivit kvadratiskt.