Gränsvärde

En tangent är alltså en linje som snuddar kurvan "endast" i punkten (b) och därmed redovisar hur kurvan lutar i just denna punkt. En sådan tangentens k-värde kallas för gränsvärde eller derivata. När vi vill uttrycka gränsvärdet för (b) så skriver vi:

$k=\lim_{h\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$

lim står för det latinska ordet "limes" som betyder "gräns". Vi kan alltså säga att detta uttryck hör ihop med k-värdet för sista figuren i stycke 2.2, medan uttrycket

$k=\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$

hör ihop med:

Gränsvärden

Det finns ett kortare sätt att beskriva gränsvärdet för (b).

$k=\lim_{h\rightarrow 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=f{}'(2)$

f' (2) uttalas "f prim 2" eller "derivatan för x=2". Nu ska vi titta på grafen till funktionen:

$f(x)=x^{2}+2x$

andragradskurva - gränsvärde

Nu ska vi räkna ut gränsvärdet i punkten (b) det vill säga i x = -2:

Formeln för detta gränsvärde är:

$k=f{}'(-2)=\lim_{h\rightarrow -2}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}$

Vi kan inte utan vidare sätta in x = -2 i denna formel, för det skulle ju innebära att vi försöker beräkna en lutning mellan (b) och (b). Vi kan naturligtvis inte använda samma punkt två gånger i formeln för k-värde. Om vi ändå försöker detta ser vi att nämnaren blir lika med 0 och uttrycket blir inte definierat.

$k=\frac{f(x)-f(-2)}{-2+2}=\frac{f(x)-f(-2)}{0}$

För att beräkna detta måste vi faktorisera uttrycket och förkorta det. Vi börjar med att beräkna f(-2).

f(-2) beräknas:

$f(-2)=(-2)^{2}+2(-2)=4-4=0$

f'(2) blir följaktligen:

$\\\lim_{x\rightarrow -2}\frac{f(x)}{x-(-2)}=\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x^{2}+2x}{x+2}=\\\\\lim_{x\rightarrow -2}\frac{x(x+2)}{x+2}=\lim_{x\rightarrow -2}x=-2$

Gränsvärdet för -2, det vill säga kurvans k-värde då x går mot -2, är -2.

Så vad är nu skillnaden på f(x) och f' (x) i praktiken? Följande graf visar hur ett föremål stiger upp i luften:

derivata

Om vi studerar punkten (2,1)

f(2) är föremålets höjd vid tiden x=2.

f' (2) är föremålets höjdändring vid tiden x=2