Tangentens lutning

En tangent till en kurva kan ge oss olika information. Beroende på hur tangenten lutar, kommer den ha olika k-värden.
Tangentens lutning
Punkten (b) har koordinaten (1, 2) och har en tangent som är växande. K-värdet/derivatan är positivt.

Om f'(x) > 0 är tangenten i x växande.

Punkten (a) har koordinaten (-1, 2) och har en tangent som är växande. K-värdet/derivatan är negativt.

Om f'(x) < 0 är tangenten i x avtagande.

Punkten (c) har koordinaten (0,1) och har en tangent som är helt horisontell. K-värdet/derivatan är noll.

Om f'(x) = 0 är tangenten i x utan lutning.

Nu till det intressanta - Vad innebär det om vi har en kurva i vilken vi har identifierat en punkt som har derivatan noll? Jo, det betyder att punktens tangent är helt horisontell, vilket denna endast kan ha om vi är högst upp på en topp (maximipunkt), längst ner i en dal (minimipunkt) eller på en "terrass" (terrasspunkt). Dessa punkter kallas för extremvärden. En terrasspunkt är en punkt som som på båda sidor om sig har en växande kurva, eller på båda sidor har en avtagande kurva.

Maximipunkt

Terasspunkt

Vi ska ta ett exempel:

$f(x)=x^{3}+2x^{2}+2$

Terasspunkt exempel
I denna graf är (a) ett maximivärde och (b) ett minimivärde. Vi kan tämligen enkelt beräkna dessa värdens koordinater:

Eftersom det är extremvärden vi söker, vet vi att tangenterna är utan lutning - derivatan i dessa punkter är lika med noll:
$f{}'(x)=0$

Vi behöver därför derivera funktionen och sätta VL=0:

$\\f{}'(x)=3x^{2}+4x\Rightarrow 0=3x^{2}+4x\\ 0=x(3x+4)\Rightarrow x_{1}=0,\, x_{2}\approx -1,3\\$

Nu har vi två x-värden för extrempunkterna. Sätter vi in dessa x-värden i f(x) får vi också ut y-koordinaterna:

$f(0)=0^{3}+2\cdot 0\cdot ^{2}+2=2$

Det ena extremvärdet (b), minimipunkten, är i (0,2)

$f(-1,3)=(-1,3)^{3}+2\cdot (-1,3)^{2}+2\approx 3,2$

Det andra extremvärdet (a), maximipunkten, är i (-1.3 , 3.2)

Exempel:

$f(x)=x^{2}-x-2$

a) I vilka intervall är funktionen växande?

En växande kurva har en derivata som är större än noll. Om vi börjar med att hitta extremvärden så kan vi därefter använda teckenstudium:

$\\f{}'(x)=2x-1\\\\ 0=2x-1\\ x=0,5$

Vi hittade bara ett extremvärde, i x=0,5. Vi vet ännu inte om det är maximi-, minimi-, eller terrassvärde eller var i y-led det befinner sig.

Nu ska vi testa sätta in ett x-värde > 0,5 för att se hur lutningen ser ut till höger om extremvärdet. Det kan endast vara en typ av lutning på varje sida, annars hade vi hittat fler extremvärden:

$f{}'(1)=2\cdot 1-1=1$

Derivatan är positiv i x=1. Kurvan är med andra ord växande till höger om x=0,5.

Lutningen för extremvärdet

Vi gör likadant med ett x-värde < 0,5 för att se hur kurvan ser ut till vänster om extremvärdet:

$f{}'(0)=2\cdot 0-1=-1$
Derivatan är negativ i x=0. Kurvan är med andra ord avtagande till vänster om x=0,5.

Avtagande lutning

Vi har nu tillräckligt med information för att säga att kurvan ser ut som en glad mun, som har ett minimivärde i x=0,5. Kurvan är växande för intervallet:

$x>0,5$

b) Bestäm kurvans nollställen, samt minimipunktens placering.

Det kan vara lätt att röra ihop nollställen med extremvärden. I ett extremvärde är derivatan 0 - och i ett nollställe är y=0. Om vi börjar med att sätta f(x) = 0 så kommer vi att få nollställena, det vill säga där kurvan skär x-axeln. Det här är inga nyheter:

$\\0=x^{2}-x-2\\\\ x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+2}\\\\ x_{1}=2\\ x_{2}=-1$

Minimipunktens x-koordinat har vi redan beräknat i (a). Allt vi behöver nu är y-koordinaten. Vad gör vi om vi har ett x-värde och vill ha ut ett y-värde? Sätter in i f(x) såklart:

$f(0,5)=0,5^{2}-0,5-2=-2,25$

Minimipunktens koordinater är (0,5 , -2,25)

Exempel:

Bestäm funktionens största värde inom intervallet:

$-1<x\leq 2$

$f(x)=x^{4}-2x^{2}$
Vi börjar med att identifiera extremvärdena:

$\\f{}'(x)=4x^{3}-4x\\\\ 0=4x^{3}-4x=x^{3}-x\\\\ 0=x(x^{2}-1)\\\\ x_{1}=0\\ x_{2}=1\\ x_{3}=-1$

Notera att -1 ligger utanför intervallet i frågan. Detta extremvärde kan inte vara del i svaret. Men för övrigt har vi två punkter som eventuellt är maximipunkter och så även eventuellt högsta värdet. Vi har ett extremvärde som ligger någonstans i x=0 och ett som ligger någonstans efter x=1. Vi beräknar punkternas y-värden:

$\\f(-1)=(-1)^{4}-2\cdot (-1)^{2}=1-2=-1\Rightarrow (-1,-1)\\\\ f(0)=0^{4}-2\cdot 0^{2}=0\Rightarrow (0,0)\\\\ f(1)=1^{4}-2\cdot 1^{2}=-1\Rightarrow (1,-1)$

Teckenstudium i graf

Härefter går vi vidare med teckenstudium. För säkerhets skull ska vi identifiera hela kurvan, även den del av kurva som är utanför intervallet. Vi testar att sätta in ett x som är mindre än x=-1, ett x som är -1<0, ett x som är 0<1, samt ett x som är till höger om x=1:

$\\f{}'(-2)=4\cdot (-2)^{3}-4\cdot (-2)=4\cdot (-8)+8=-24\Rightarrow -\\\\ \\f{}'(-0,5)=4\cdot -0,5^{3}-4\cdot -0,5=4\cdot 0,125+2=1,5\Rightarrow +\\\\ \\f{}'(0,5)=4\cdot 0,5^{3}-4\cdot 0,5=4\cdot 0,125-2=-1,5\Rightarrow -\\\\ \\f{}'(2)=4\cdot 2^{3}-4\cdot 2=4\cdot 8-8=24\Rightarrow +\\\\$

Vi får alltså en kurva som ser ut enligt följande graf:

Tredejgradsfunktion i graf
Nu får vi se upp innan så att vi inte råkar säga att största värdet är f(0), bara för att vi hade en maximipunkt där. Frågan sökte det största värdet inom intervallet:

$-1<x\leq 2$

Eftersom kurvan är växande till höger om extrempunkten (1,-1), så måste vi kontrollera hur högt största värdet är inom intervallet:

$1<x\leq 2$

Inom detta intervall är högsta värdet är naturligtvis i x=2. Vi beräknar f(2) och kollar om det blir större än f(0) (Vilket vi ser i kurvan att det kommer vara):

$f(2)=2^{4}-2\cdot 2^{2}=16-8=8$

Här har vi hittat det största värdet: Högsta värdet inom intervallet är y=8 (i punkten x=2)