Andragradsfunktioner

Hittills har vi studerat hur nolltegradspolynom (y=a) och förstagradspolynom (y=ax+b) ser ut grafiskt. Vi ska nu studera hur ett andragradspolynom ser ut i ett koordinatsystem.

Vi ska börja med följande funktion:


f(x)=x^{2}

För att förstå hur funktioner av detta slag ser ut som graf så skapar vi först en värdetabell:

 

x
 f(x)
-3
 9
-2
 4
-1
 1
0
 0
1
 1
2
 4
3
 9

 


Sedan sätter vi in koordinaterna i ett koordinatsystem:
Andragradsfunktion

Det ser ut som att ekvationen bildar en symmetrisk u-formad kurva, som skär genom origo. Detta är helt rätt. Hade vi valt att sätta in fler koordinater hade vi fått en jämnare kurva och inte så kantig. Kurvan ser ut enligt följande figur:
Andragradsfunktion1

Eftersom x2 har en positiv koefficient (Här är koefficienten 1) får kurvan ett minimivärde (Här i punkten (0,0) ). Nästa funktion:
f(x)=-x^{2}

Maximipunkt

Om x2 har en negativ koefficient (Här är koefficienten -1) blir kurvan spegelvänd, och får en maximipunkt (Här i punkten (0,0) ).

Alla andragradspolynom har form av en parabel. Men parablarnas "bredder" och placeringar i koordinatsystemet skiljer dem åt.

Exempel på andragradsfunktioner:

\\y=3x^{2}+1\\ y=2x^{2}+4x\\ y=x^{2}+4x-8\\ y=6-x^{2}+x


Vi har tidigare sett att en andragradsekvation har 2 rötter, 1 rot eller ingen rot alls. Detta blir förtydligat om vi nu även kan studera funktionerna grafiskt.

I en vanlig andragradsekvation med två rötter kan vi tydligt se noll-värdena (De punkter på x-axeln då y=0, det vill säga de värden som vi räknar ut när vi löser en ekvation):

x^{2}-6x+5=0


Andragradsekvation

\\x_{1,2}=-\frac{-6}{2}\pm \sqrt{(\frac{-6}{2})^{2}-5}\\\\ x_{1,2}=3\pm \sqrt{4}\\ x_{1,2}=3\pm 2\\\\ x_{1}=1\\ x_{2}=5


Vi kan även se om en ekvation bara har en rot:

y=x^{2}-2x+1

en rot


Eftersom kurvan tangerar x-axeln, så finns det bara en punkt på kurvan då y=0. Här ser vi att nollstället är x = 1. Detta kan kontrolleras algebraiskt:

\\x=\frac{2}{2}\pm \sqrt{(\frac{2}{2})^{2}-1}\\\\ x=1\pm \sqrt{1-1}\\ x=1 \pm 0\\ x=1

Slutligen ska vi illustrera hur en funktion utan rötter ser ut grafiskt:

x^{2}-2x+2

Andragradsekvationer


Vi kan tydligt se att kurvan inte skär x-axeln alls. Det finns inget nollvärde (där y = 0). Det saknas reell lösning.

x=-\frac{-2}{2}\pm \sqrt{(\frac{-2}{2})^{2}-2}\\\\ x=1\pm \sqrt{-1}