Olikheter

Ibland i en ekvation söker vi inte endast ett x-värde, utan ett eller flera intervall, bestående av många x-värden som passar in i ekvationen.

$x+6>10$

Uttrycket ovan kallas för en olikhet. Skillnaden är att vi har en typ av olikhetstecken, jämfört med likhetstecken. Olikheten utläses "x plus 6 är större än 10". Vänder man på tecknet (<) så läser man "x plus 6 är mindre än 10".

För att olikheten ska gälla så kan vi i detta fall med blotta ögat se att om x är större än 4 så kommer också VL vara större än HL. Om x till exempel är 5 så blir:

$5+6=11$

Som vi alla vet är 11 större än 10!

$5+6=11>10$

Olikheten är giltig, och kommer så vara vilket värde vi än sätter in på x, så länge som x är större än 5 d.v.s. x > 5.

En olikhet kan vi beräkna nästan precis på samma sätt som en vanlig ekvation:

$x+6>10\Rightarrow x+6-6>10-6\Rightarrow x>4$

Skillnaden är om vi kommer till en olikhet som kräver att vi dividerar eller multiplicerar med ett negativt tal. Då måste vi vända på olikhetstecknet:

$\\2-2x<6\Rightarrow 2-2-2x<6-2\Rightarrow -2x<4\\\\ \frac{-2x}{-2}>\frac{4}{-2}\\\\ x>-2$

Vi testar att sätta in ett värde som är större än -2, till exempel 1:

$2-2\cdot 1=0$

Vi satte in ett värde som var större än -2, nämligen 1, och fick att VL = 0. Som vi alla vet är 0 mindre än 6!

$0<6$

Så glöm inte:

Varje gång man multiplicerar och/eller dividerar med negativa tal ska tecknet vändas.

Det finns också tecken som betyder "Större än, eller lika med" och "Mindre än eller lika med" samt "Ej lika med".

tabell

Skillnaden är att i de två första olikheterna så kan vi nu även tillåtas sätta in ett x värde som gör att VL = HL. I första olikheten så får vi precis som tidigare sätta in vilket värde som är större än 1, för att olikheten ska gälla, men vi inkluderar även x = 1. Vi får även sätta in x = 1 för att olikheten ska gälla.

I andra olikheten får x anta vilket värde som helst som är mindre än 4 - men x får också anta värdet 4. I sista ekvationen får man stoppa in vilket värde som helst på x, men inte 3.

Olikheter förekommer även i funktioner:

$y=2x+1$

Lös olikheten:

$0>2x+1$

olikheter

Algebraiskt kan vi lösa olikheten tämligen enkelt:

$0>2x+1\Rightarrow 0-1>2x\Rightarrow -0,5>x$

Men vad betyder det vi har räknat ut? Vi börjar med att klargöra vad det egentligen är som efterfrågas? Jo - vi fick först av allt en vanlig funktion med likhetstecken presenterad. Därefter fick vi en olikhet, väldigt lik den givna funktionen.

Skillnaden var att y hade ersatts av 0, och likhetstecknet hade bytts ut till ett "större än"-tecken. Istället för att stoppa in ett y-värde (0) och räkna ut ett x-värde, eller rättare sagt sätta in y = 0 och räkna ut x-värdet i denna koordinat (punkt) - så är vi i detta fall intresserade att få veta alla grafens koordinater som har y-värden som är mindre än 0.

Vi vet ju att

$y=2x+1$

Om vi sätter in ett värde på x som är mindre än -0,5 så kommer vi att få ett y-värde som är mindre än noll! Olikheten är en fråga som utläses: "Vilka x-koordinater, längs grafen har y-värden som är mindre än 0?"

Vi har räknat ut att så länge som x är mindre än -0,5 så blir 2x + 1 dvs y mindre än 0. Kom ihåg att nollan representerar en y-koordinat. Svaret vi har givit är inte bara ett x-värde utan en hel (i detta fall oändligt stor) mängd med x-värden. Detta kan vi väldigt enkelt läsa av i grafen!

Om vi börjar med att identifiera koordinaten där y=0 nämligen (-0,5 , 0) så ser vi att alla punkter längs linjen som har x värde mindre än -0,5 har också ett y-värde som är mindre än 0.

Exempel:

$y=x^{2}-4x+5$

Lös olikheten:

$5>x^{2}-4x+5$

Åter igen har vi fått en uppgift där vi ska beräkna en olikhet. Denna gång består funktionen av ett andragradspolynom. Vi börjar med att lösa uppgiften grafiskt, genom att rita in funktionen i ett koordinatsystem:

koordinatsystem olikheter

Frågan är nu, "Vilka x-värden, utefter kurvan, har y-värde mindre än 5?"

Genom att studera grafen så ser vi att alla x som är större än 0 har y<5. Vi ser också att alla x som är mindre än 4 har y<5. Svar som dessa brukar skrivas:

$0<x<4$

Nu ska vi också gå igenom hur man löser detta algebraiskt, genom så kallat teckenstudium. När vi använder oss av teckenstudium, är det bekvämast att ha VL=0. Vi skriver därför om ekvationen:

$5-5>x^{2}-4x+5-5\Rightarrow 0>x^{2}-4x$

Vi kan nu istället säga "De efterfrågade x-värdena uppfyller även olikheten 0 > x² - 4x. Vilka x-värden har ett y-värde som är större än 0 i olikheten 0 > x² - 4x?"

Vi vet att vi har en kurva som ser ut som en parabel. Eftersom x² har en positiv koefficient vet vi även att kurvan är "glad". Mer än så vet vi inte till att börja med.

Olikheter

Vi börjar med att ta reda på var kurvan skär x-axeln. Dessa värden kallas för 0-punkter. För att göra det så sätter vi helt enkelt:

$0=x^{2}-4x$

Genom faktorisering får vi:

$0=x(x-4)\Rightarrow x_{1}=0,x_{2}=4$

Vad innebär nu teckenstudium? Jo, teckenstudium innebär att man efter beräkning av 0-värden, testar att sätta ut ett x-värde mellan dessa och ser om dess y-värde blir positivt eller negativt. Så här:

1. Beräkning av 0-värden: 0 och 4

2. Kommer kurvan gå som en glad eller ledsen mun, mellan dessa punkter? En ledsen mun resulterar i att samtliga x-värden mellan 0-värdena här y>0. En glad mun resulterar i att samtliga x-värden mellan 0-punkterna har y<0. Vi testar att sätta in till exempel x = 3 i funktionen:

$y(3)=3^{2}-4\cdot 3=-3\Rightarrow -$

Om vi vill och känner det som nyttigt kan vi även sätta ut värden som är större än 4 och mindre än 0, för att få en ännu bättre uppfattning om hur kurvan ser ut:

$\\y(-1)=(-1)^{2}-4\cdot (-1)=5\Rightarrow +\\ y(10)=10^{2}-4\cdot 10=60\Rightarrow +$

Följaktligen har vi en glad mun och svaret på olikheten är:

$0<x<4$

I en vanlig andragradsfunktion likt denna behöver vi egentligen inte använda teckenstudium, eftersom vi redan innan (genom att studera koefficienten) visste om kurvan var "glad" eller "ledsen". Ty om kurvan, som i detta fallet alltså är glad, vet vi efter att ha beräknat 0-punkterna, att funktionen ser ut i stil med följande graf:

Graf

Vi vet därför (utan att göra en teckenstudie) att alla x som är mindre än x=0 har y>0 och vi vet att alla x som är större än x=4 har y>0.

Vi ska gå igenom en sista olikhet:

Lös olikheten:

$0\geq x^{3}+3x^{2}+2x$

Eftersom VL redan är lika med 0, börjar vi med att räkna ut 0-punkterna:

$\\0=x(x^{2}+3x+2)\\ x_{1}=0\\\\ x_{2,3}=-\frac{3}{2}\pm \sqrt{(\frac{3}{2})^{2}-2}=-1,5\pm 0,5$

$x_{2}=-1\, och\, x_{3}=-2$

Vi har nu alltså 3 stycken 0-punkter, och vi har ingen aning om hur grafen ser ut mellan dessa. Teckenstudium är absolut nödvändigt här. Vi testar därför att sätta in x-värden före, mellan och efter punkterna:

$\\y(-3)=(-3)^{3}+3(-3)^{2}+2(-3)=-6\Rightarrow -\\ y(-1,5)=(-1,5)^{3}+3(-1,5)^{2}+2(-1,5)\\=0,375\Rightarrow +\\ y(-0,5)=(-0,5)^{3}+3(-0,5)^{2}+2(-0,5)\\=-0,375\Rightarrow -\\ y(1)=(1)^{3}+3(1)^{2}+2(1)=6\Rightarrow +$

Det vi nu har räknat fram, är själva utseendet på grafen. Vi vet att grafen går i stil med:

tredjegradsolikhet

Så vad är nu svaret på olikheten som efterfrågades? När är y större än eller lika med 0? Jo överallt där vi kan se grafen gå över x-axeln:

$-2\leq x\leq -1$

och...

$x\geq 0$

Videolektion - Lös olikheten